Номер 14.28, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.28, страница 145.

Условие.

14.28. Токарю было поручено изготовить 90 деталей, а ученику — 35. Первые 30 деталей токарь делал с производительностью в два раза большей, чем ученик. Изготовляя остальные 60 деталей, он делал ещё на 2 детали в час больше и закончил свою работу не менее чем на 1 ч позже ученика. Однако если бы токарь первые 30 деталей изготавливал с такой же производительностью, что и остальные 60, то он закончил бы работу не ранее чем через 30 мин после ученика. Сколько деталей в час делал ученик?

Решение.

Пусть $x$ — производительность ученика (деталей в час). По условию задачи, $x > 0$.

Токарь должен изготовить 90 деталей, а ученик — 35.

Время, которое требуется ученику для выполнения своей работы, составляет $T_{уч} = \frac{35}{x}$ часов.

Рассмотрим два сценария, описанные в задаче.

1. Первый сценарий (фактический)

Сначала токарь изготавливал 30 деталей с производительностью в два раза большей, чем у ученика, то есть $2x$ деталей/час. Время, затраченное на эту часть работы: $t_1 = \frac{30}{2x} = \frac{15}{x}$ часов.

Оставшиеся $90 - 30 = 60$ деталей он изготавливал с производительностью на 2 детали в час больше, то есть $2x + 2$ деталей/час. Время, затраченное на эту часть работы: $t_2 = \frac{60}{2x+2} = \frac{30}{x+1}$ часов.

Общее время работы токаря в этом сценарии: $T_{ток1} = t_1 + t_2 = \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1}$ часов.

По условию, токарь закончил свою работу не менее чем на 1 час позже ученика. Это можно записать в виде неравенства:

$T_{ток1} \ge T_{уч} + 1$

$\frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} \ge \frac{35}{x} + 1$

2. Второй сценарий (гипотетический)

Если бы токарь все 90 деталей изготавливал с производительностью $2x+2$ деталей/час, то его общее время работы составило бы:

$T_{ток2} = \frac{90}{2x+2} = \frac{45}{x+1}$ часов.

По условию, в этом случае он закончил бы работу не ранее чем через 30 минут (0,5 часа) после ученика. Это можно записать в виде неравенства:

$T_{ток2} \ge T_{уч} + 0.5$

$\frac{45}{x+1} \ge \frac{35}{x} + \frac{1}{2}$

Решение системы неравенств

Мы получили систему из двух неравенств, которую необходимо решить:

$\begin{cases} \frac{15}{x} + \frac{30}{x+1} \ge \frac{35}{x} + 1 \\ \frac{45}{x+1} \ge \frac{35}{x} + \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\frac{30}{x+1} - 1 \ge \frac{35}{x} - \frac{15}{x}$

$\frac{30 - (x+1)}{x+1} \ge \frac{20}{x}$

$\frac{29-x}{x+1} \ge \frac{20}{x}$

Так как $x>0$, то $x$ и $x+1$ положительны. Умножим обе части на $x(x+1)$:

$x(29-x) \ge 20(x+1)$

$29x - x^2 \ge 20x + 20$

$0 \ge x^2 - 9x + 20$

$x^2 - 9x + 20 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=4$ и $x_2=5$. График функции — парабола с ветвями вверх, следовательно, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $4 \le x \le 5$.

Решим второе неравенство:

$\frac{45}{x+1} - \frac{35}{x} - \frac{1}{2} \ge 0$

Приведем к общему знаменателю $2x(x+1)$, который положителен при $x > 0$:

$\frac{45 \cdot 2x - 35 \cdot 2(x+1) - x(x+1)}{2x(x+1)} \ge 0$

Так как знаменатель положителен, знак дроби определяется знаком числителя:

$90x - 70(x+1) - x(x+1) \ge 0$

$90x - 70x - 70 - x^2 - x \ge 0$

$-x^2 + 19x - 70 \ge 0$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 19x + 70 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 19x + 70 = 0$. Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 70 = 361 - 280 = 81 = 9^2$.

$x_1 = \frac{19 - 9}{2} = 5$

$x_2 = \frac{19 + 9}{2} = 14$

Решением неравенства является отрезок между корнями: $5 \le x \le 14$.

Теперь найдем общее решение системы:

$\begin{cases} 4 \le x \le 5 \\ 5 \le x \le 14 \end{cases}$

Единственным значением, удовлетворяющим обоим неравенствам, является $x=5$.

Ответ: 5.