Номер 14.30, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.30, страница 145.

Условие.

14.30. Решите неравенство $\frac{2}{x|x-1|} \le -1$.

Решение.

Решим неравенство $ \frac{2}{x|x-1|} \le -1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$ и $|x-1| \ne 0$, что означает $x \ne 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Правая часть неравенства равна -1. Следовательно, левая часть должна быть меньше или равна -1, а значит, должна быть отрицательной. Числитель дроби (2) положителен, поэтому для того, чтобы дробь была отрицательной, ее знаменатель $x|x-1|$ должен быть отрицательным.

$x|x-1| < 0$

Выражение $|x-1|$ всегда неотрицательно, а в рамках ОДЗ ($x \ne 1$) оно строго положительно: $|x-1| > 0$. Следовательно, знак произведения $x|x-1|$ совпадает со знаком $x$. Неравенство $x|x-1| < 0$ выполняется только при $x < 0$.

Таким образом, дальнейшее решение мы проводим только для $x < 0$.

При $x < 0$ выражение $x-1$ также отрицательно, поэтому модуль раскрывается следующим образом: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$$ \frac{2}{x(1-x)} \le -1 $$

Так как мы рассматриваем случай $x < 0$, то $1-x > 1$. Знаменатель $x(1-x)$ является произведением отрицательного числа ($x$) и положительного ($1-x$), то есть он отрицателен. Умножим обе части неравенства на знаменатель $x(1-x)$, изменив знак неравенства на противоположный:

$2 \ge -1 \cdot x(1-x)$

$2 \ge -x + x^2$

$0 \ge x^2 - x - 2$

Перепишем в более привычном виде:

$x^2 - x - 2 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни: $x \in [-1, 2]$.

Теперь необходимо учесть условие $x < 0$, при котором мы решали неравенство. Найдем пересечение полученного решения $x \in [-1, 2]$ с множеством $x < 0$:

$[-1, 2] \cap (-\infty, 0) = [-1, 0)$.

Этот результат удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $[-1, 0)$.