Номер 15.5, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.5, страница 154.

Условие.

15.5. Графиками каких неравенств являются открытые полуплоскости:

1) $3x > y + 1$;

2) $x > 0$;

3) $y \le 0$;

4) $x + y \ge 1$;

5) $\frac{y - x - 1}{x^2 + y^2} < 0$;

6) $\frac{x + y}{x^2 + y^2} > 0$;

7) $\frac{(x + y)^2}{x + y} \ge 0$;

8) $\sqrt{x} > -y^2$;

9) $|x| > x?$;

Решение.

1) Неравенство $3x > y + 1$ можно переписать в виде $3x - y - 1 > 0$. Это линейное неравенство относительно переменных $x$ и $y$. Границей области решений является прямая $3x - y - 1 = 0$. Так как знак неравенства строгий ('>'), точки, лежащие на самой прямой, не входят в множество решений. Множество всех точек $(x, y)$, удовлетворяющих этому неравенству, образует открытую полуплоскость.
Ответ: Графиком является открытая полуплоскость.

2) Неравенство $x > 0$ является линейным неравенством вида $1 \cdot x + 0 \cdot y > 0$. Границей области является прямая $x=0$ (ось $Oy$). Знак неравенства строгий ('>'), поэтому граница не включается в решение. Множество решений — это все точки, лежащие справа от оси $Oy$, что по определению является открытой полуплоскостью.
Ответ: Графиком является открытая полуплоскость.

3) Границей области, заданной неравенством $y \leq 0$, является прямая $y=0$ (ось $Ox$). Знак неравенства нестрогий ('≤'), поэтому точки, лежащие на границе, включаются в множество решений. Такая область называется замкнутой полуплоскостью, а не открытой.
Ответ: Графиком не является открытая полуплоскость.

4) Границей области для неравенства $x + y \geq 1$ является прямая $x+y=1$. Знак неравенства нестрогий ('≥'), поэтому граница включается в множество решений. Это замкнутая полуплоскость.
Ответ: Графиком не является открытая полуплоскость.

5) Область определения неравенства $\frac{y - x - 1}{x^2 + y^2} < 0$ требует, чтобы знаменатель был не равен нулю, то есть $x^2 + y^2 \neq 0$, что означает $(x, y) \neq (0, 0)$. Знаменатель $x^2 + y^2$ всегда положителен при $(x, y) \neq (0, 0)$. Поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно системе:
$y - x - 1 < 0$
$(x, y) \neq (0, 0)$
Неравенство $y < x + 1$ задает открытую полуплоскость. Однако точка $(0, 0)$ удовлетворяет этому неравенству ($0 < 0 + 1$), но должна быть исключена из-за области определения исходного неравенства. Таким образом, графиком является открытая полуплоскость с выколотой точкой, что не является открытой полуплоскостью.
Ответ: Графиком не является открытая полуплоскость.

6) В неравенстве $\frac{x + y}{x^2 + y^2} > 0$ область определения: $(x, y) \neq (0, 0)$. На этой области знаменатель $x^2 + y^2 > 0$. Следовательно, неравенство равносильно $x + y > 0$. Это неравенство задает открытую полуплоскость. Граница этой полуплоскости — прямая $x + y = 0$, на которой лежит точка $(0, 0)$. Поскольку полуплоскость открытая, точки границы в неё не входят. Значит, условие $(x, y) \neq (0, 0)$ автоматически выполняется. Таким образом, график является открытой полуплоскостью.
Ответ: Графиком является открытая полуплоскость.

7) Область определения неравенства $\frac{(x + y)^2}{x + y} \geq 0$ требует, чтобы $x + y \neq 0$. На этой области можно сократить дробь, получив $x + y \geq 0$. Совмещая с условием $x + y \neq 0$, получаем строгое неравенство $x + y > 0$. Графиком этого неравенства является открытая полуплоскость.
Ответ: Графиком является открытая полуплоскость.

8) Область определения неравенства $\sqrt{x} > -y^2$ задается условием $x \geq 0$. Левая часть $\sqrt{x} \geq 0$, а правая часть $-y^2 \leq 0$. Неравенство выполняется для всех $(x, y)$ из области определения, кроме случая, когда обе части равны нулю, то есть $\sqrt{x} = 0$ и $-y^2 = 0$, что происходит в точке $(0, 0)$. Таким образом, множество решений — это замкнутая полуплоскость $x \geq 0$ с выколотой точкой $(0, 0)$. Это множество не является открытой полуплоскостью.
Ответ: Графиком не является открытая полуплоскость.

9) Неравенство $|x| > x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$. Это неравенство задает все точки на координатной плоскости, у которых абсцисса отрицательна. Данное множество точек является открытой полуплоскостью, расположенной слева от оси $Oy$ (прямой $x=0$).
Ответ: Графиком является открытая полуплоскость.