Номер 15.3, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.3, страница 153.

Условие.

15.3. Изобразите график неравенства:

1) $3x - y > 1$;

2) $2x + y \geq 2$;

3) $y \le -1$;

4) $x < 3$.

Решение.

1) $3x - y > 1$

Чтобы изобразить график неравенства, сначала построим график соответствующего уравнения, которое является границей области решения: $3x - y = 1$. Это линейное уравнение. Для удобства построения выразим $y$ через $x$: $y = 3x - 1$. Это уравнение прямой. Для ее построения достаточно двух точек.

• При $x=0$, $y = 3(0) - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• При $x=1$, $y = 3(1) - 1 = 2$. Получаем точку $(1, 2)$.

Соединяем эти две точки. Так как исходное неравенство строгое ($>$), то граничная прямая не входит в множество решений, и ее следует изобразить пунктирной линией. Эта прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является решением, выберем любую пробную точку, не лежащую на прямой. Удобнее всего взять начало координат — точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $3(0) - 0 > 1$ $0 > 1$ Это неравенство ложно. Следовательно, полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, не является решением. Решением является противоположная полуплоскость, то есть область, расположенная ниже и правее прямой $y = 3x - 1$.

Ответ: Графиком неравенства является открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y=3x-1$. Сама прямая изображается пунктирной линией.

2) $2x + y \ge 2$

Сначала построим граничную линию, заданную уравнением $2x + y = 2$. Выразим $y$: $y = -2x + 2$. Это уравнение прямой. Найдем две точки для ее построения:

• При $x=0$, $y = -2(0) + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $y=0$, $2x = 2$, откуда $x=1$. Точка $(1, 0)$.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки на прямой удовлетворяют неравенству. Поэтому граничную линию изображаем сплошной линией. Проверим, какую полуплоскость заштриховать, с помощью пробной точки $(0, 0)$: $2(0) + 0 \ge 2$ $0 \ge 2$ Неравенство ложно. Значит, решением является полуплоскость, не содержащая начало координат, то есть область, расположенная выше и правее прямой $y = -2x + 2$.

Ответ: Графиком неравенства является замкнутая полуплоскость, расположенная выше прямой $y=-2x+2$, включая саму прямую, которая изображается сплошной линией.

3) $y \le -1$

Граничная линия этого неравенства — прямая $y = -1$. Это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -1)$ и параллельная оси абсцисс ($Ox$). Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому прямая $y=-1$ является частью решения и изображается сплошной линией. Неравенство $y \le -1$ выполняется для всех точек, у которых ордината (координата $y$) меньше или равна $-1$. Геометрически это означает все точки, лежащие на прямой $y=-1$ и ниже нее.

Ответ: Графиком неравенства является замкнутая полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой $y=-1$, включая саму прямую.

4) $x < 3$

Граничная линия задается уравнением $x = 3$. Это вертикальная прямая, проходящая через точку $(3, 0)$ и параллельная оси ординат ($Oy$). Неравенство строгое ($<$), поэтому прямая $x=3$ не является частью решения и изображается пунктирной линией. Неравенство $x < 3$ выполняется для всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) меньше $3$. Геометрически это соответствует всем точкам, расположенным левее вертикальной прямой $x = 3$.

Ответ: Графиком неравенства является открытая полуплоскость, расположенная левее вертикальной прямой $x=3$. Сама прямая изображается пунктирной линией.