Номер 14.25, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.25, страница 144.

Условие.

14.25. Два автохозяйства отправили несколько машин для перевозки груза. Количество машин, отправленных из второго автохозяйства, меньше удвоенного количества машин, отправленных из первого. Если бы первое автохозяйство отправило на две машины больше, а второе — на две меньше, то машин из второго автохозяйства было бы больше, чем машин из первого. Сколько машин было отправлено из каждого автохозяйства, если всего было отправлено не более 18 машин?

Решение.

Пусть $x$ — количество машин, отправленных из первого автохозяйства, а $y$ — количество машин, отправленных из второго автохозяйства. Согласно условию, $x$ и $y$ являются целыми положительными числами.

Исходя из условий задачи, составим систему неравенств:
1. Количество машин из второго автохозяйства меньше удвоенного количества машин из первого: $y < 2x$.
2. Если бы первое автохозяйство отправило на две машины больше ($x+2$), а второе — на две меньше ($y-2$), то машин из второго было бы больше, чем из первого: $y - 2 > x + 2$, что равносильно $y > x + 4$.
3. Всего было отправлено не более 18 машин: $x + y \le 18$.

Таким образом, необходимо решить в натуральных числах следующую систему неравенств: $$ \begin{cases} y < 2x \\ y > x + 4 \\ x + y \le 18 \end{cases} $$

Из первых двух неравенств получаем двойное неравенство для $y$: $x + 4 < y < 2x$. Для того чтобы это неравенство имело хотя бы одно целочисленное решение, необходимо, чтобы его левая граница была меньше правой: $x + 4 < 2x$, откуда следует, что $x > 4$.

Из третьего неравенства системы, $x + y \le 18$, выразим $y$: $y \le 18 - x$.

Теперь, объединяя условия для $y$, получаем: $x + 4 < y \le 18 - x$. Для существования решений этого неравенства, необходимо, чтобы левая граница была меньше правой: $x + 4 < 18 - x$. Решим это неравенство: $2x < 14$ $x < 7$

Мы получили ограничения для $x$: $4 < x < 7$. Так как $x$ — целое число, то оно может принимать значения 5 или 6.

Рассмотрим каждый возможный случай для $x$.
Если $x = 5$, то неравенство для $y$ принимает вид $5 + 4 < y \le 18 - 5$, то есть $9 < y \le 13$. Возможные целые значения $y$: 10, 11, 12, 13. Однако, должно выполняться и исходное условие $y < 2x$, то есть $y < 2 \cdot 5$ или $y < 10$. Ни одно из найденных значений $y$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, $x=5$ не является решением.

Если $x = 6$, то неравенство для $y$ принимает вид $6 + 4 < y \le 18 - 6$, то есть $10 < y \le 12$. Возможные целые значения $y$: 11, 12. Исходное условие $y < 2x$ принимает вид $y < 2 \cdot 6$ или $y < 12$. Этому условию удовлетворяет только $y = 11$.

Итак, единственная пара чисел, удовлетворяющая всем условиям, это $x=6$ и $y=11$. Выполним проверку:
1) $11 < 2 \cdot 6 \implies 11 < 12$ (верно).
2) $11 > 6 + 4 \implies 11 > 10$ (верно).
3) $6 + 11 \le 18 \implies 17 \le 18$ (верно).
Все условия выполнены.

Ответ: из первого автохозяйства было отправлено 6 машин, а из второго — 11 машин.