Номер 14.20, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Уравнения с двумя переменными и их системы. Параграф 14. Системы уравнений (неравенств) как математические модели реальных ситуаций - номер 14.20, страница 143.

Условие.

14.20. Три пловца должны проплыть дистанцию от пункта $A$ до пункта $B$ и обратно. Сначала стартует первый, через $5$ с — второй, а ещё через $5$ с — третий. Некоторую точку $C$, находящуюся между пунктами $A$ и $B$, все пловцы на пути к пункту $B$ прошли одновременно. Третий пловец, проплыв до пункта $B$ и возвращаясь обратно, встретил второго за $9$ м, а первого — за $15$ м от пункта $B$. Найдите скорость третьего пловца, если дистанция $AB$ равна $55$ м.

Решение.

Обозначим скорости пловцов как $v_1$, $v_2$ и $v_3$ соответственно. Расстояние от пункта A до пункта B равно $S = 55$ м.

Пусть первый пловец стартовал в момент времени $t=0$. Тогда второй стартовал в $t=5$ с, а третий — в $t=10$ с.

1. Встреча в точке C

Все три пловца одновременно прошли точку C, находящуюся на расстоянии $S_C$ от пункта A. Пусть это произошло в момент времени $t_C$. К этому моменту пловцы были в пути:

• Первый пловец: $t_1 = t_C$
• Второй пловец: $t_2 = t_C - 5$
• Третий пловец: $t_3 = t_C - 10$

Так как все они проплыли одинаковое расстояние $S_C$, можно записать: $S_C = v_1 t_C = v_2(t_C - 5) = v_3(t_C - 10)$.

Из этих равенств можно выразить скорости первого и второго пловцов через скорость третьего:

$v_2(t_C - 5) = v_3(t_C - 10) \implies v_2 = v_3 \frac{t_C - 10}{t_C - 5}$

$v_1 t_C = v_3(t_C - 10) \implies v_1 = v_3 \frac{t_C - 10}{t_C}$

2. Встреча третьего пловца со вторым

Третий пловец доплыл до пункта B и, развернувшись, встретил второго на расстоянии 9 м от B. Пусть это произошло в момент времени $t_{23}$.

К этому моменту третий пловец проплыл расстояние $S_3 = S + 9 = 55 + 9 = 64$ м. Время его движения: $t_{23} - 10 = \frac{64}{v_3}$.

Второй пловец к этому моменту проплыл расстояние $S_2 = S - 9 = 55 - 9 = 46$ м. Время его движения: $t_{23} - 5 = \frac{46}{v_2}$.

Разница во времени старта между вторым и третьим пловцами составляет 5 секунд, поэтому разница во времени их движения до точки встречи также равна 5 секундам: $(t_{23} - 5) - (t_{23} - 10) = 5$.

Следовательно: $\frac{46}{v_2} - \frac{64}{v_3} = 5$.

3. Встреча третьего пловца с первым

Аналогично, третий пловец встретил первого на расстоянии 15 м от B. Пусть это произошло в момент времени $t_{13}$.

К этому моменту третий пловец проплыл расстояние $S'_3 = S + 15 = 55 + 15 = 70$ м. Время его движения: $t_{13} - 10 = \frac{70}{v_3}$.

Первый пловец к этому моменту проплыл расстояние $S'_1 = S - 15 = 55 - 15 = 40$ м. Время его движения: $t_{13} - 0 = \frac{40}{v_1}$.

Разница во времени старта между первым и третьим пловцами составляет 10 секунд: $(t_{13} - 0) - (t_{13} - 10) = 10$.

Следовательно: $\frac{40}{v_1} - \frac{70}{v_3} = 10$.

4. Решение системы уравнений

Теперь подставим выражения для $v_1$ и $v_2$ из пункта 1 в уравнения из пунктов 2 и 3.

Для встречи 2-го и 3-го: $\frac{46}{v_3 \frac{t_C - 10}{t_C - 5}} - \frac{64}{v_3} = 5$

$\frac{46(t_C - 5)}{v_3(t_C - 10)} - \frac{64}{v_3} = 5$

Умножим обе части на $v_3(t_C - 10)$: $46(t_C - 5) - 64(t_C - 10) = 5v_3(t_C - 10)$

$46t_C - 230 - 64t_C + 640 = 5v_3(t_C - 10)$

$410 - 18t_C = 5v_3(t_C - 10)$ (Уравнение 1)

Для встречи 1-го и 3-го: $\frac{40}{v_3 \frac{t_C - 10}{t_C}} - \frac{70}{v_3} = 10$

$\frac{40t_C}{v_3(t_C - 10)} - \frac{70}{v_3} = 10$

Умножим обе части на $v_3(t_C - 10)$: $40t_C - 70(t_C - 10) = 10v_3(t_C - 10)$

$40t_C - 70t_C + 700 = 10v_3(t_C - 10)$

$700 - 30t_C = 10v_3(t_C - 10)$

$70 - 3t_C = v_3(t_C - 10)$ (Уравнение 2)

Теперь подставим выражение для $v_3(t_C - 10)$ из Уравнения 2 в Уравнение 1:

$410 - 18t_C = 5(70 - 3t_C)$

$410 - 18t_C = 350 - 15t_C$

$410 - 350 = 18t_C - 15t_C$

$60 = 3t_C$

$t_C = 20$ с.

Мы нашли время, в которое все пловцы встретились в точке C. Теперь найдем скорость третьего пловца $v_3$, используя Уравнение 2:

$v_3 = \frac{70 - 3t_C}{t_C - 10} = \frac{70 - 3 \cdot 20}{20 - 10} = \frac{70 - 60}{10} = \frac{10}{10} = 1$ м/с.

Ответ: 1 м/с.