Номер 15.18, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.18, страница 155.

Условие.

15.18. Докажите, что при всех натуральных значениях $n$ значение выражения $11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^n$ кратно 7.

Решение.

Для доказательства того, что выражение $11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^n$ кратно 7 при всех натуральных значениях $n$, воспользуемся методом сравнений по модулю.

Кратность выражения 7 означает, что остаток от его деления на 7 равен 0. На языке сравнений это записывается так:

$11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{7}$

Рассмотрим выражение по частям.

1. Анализ коэффициентов по модулю 7

Найдем остатки от деления коэффициентов 11 и 10 на 7:

$11 = 1 \cdot 7 + 4 \implies 11 \equiv 4 \pmod{7}$

$10 = 1 \cdot 7 + 3 \implies 10 \equiv 3 \pmod{7}$

2. Анализ степенных членов по модулю 7

Преобразуем член $3^{2n}$:

$3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$

Теперь найдем, чему равно основание 9 по модулю 7:

$9 = 1 \cdot 7 + 2 \implies 9 \equiv 2 \pmod{7}$

Используя свойство сравнений, согласно которому если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$, получаем:

$9^n \equiv 2^n \pmod{7}$

Следовательно, $3^{2n} \equiv 2^n \pmod{7}$.

3. Подстановка и финальное вычисление

Теперь подставим найденные сравнения в исходное выражение:

$11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^n \equiv 4 \cdot (3^{2n}) + 3 \cdot (2^n) \pmod{7}$

Заменяем $3^{2n}$ на эквивалентное ему $2^n$ по модулю 7:

$4 \cdot (2^n) + 3 \cdot (2^n) \pmod{7}$

Выносим общий множитель $2^n$ за скобки:

$(4+3) \cdot 2^n = 7 \cdot 2^n \pmod{7}$

Поскольку число 7 делится на 7 без остатка ($7 \equiv 0 \pmod{7}$), то и все произведение кратно 7:

$7 \cdot 2^n \equiv 0 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{7}$

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $11 \cdot 3^{2n} + 10 \cdot 2^n$ всегда сравнимо с 0 по модулю 7, а значит, кратно 7 для любого натурального числа $n$.

Ответ: Утверждение доказано.