Номер 16.3, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.3, страница 159.

Условие.

16.3. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество $C = A \cap B$, где:

1) $A = \{(x; y) \mid y \le -x^2 + 1\}$, $B = \{(x; y) \mid y \ge -4\}$;

2) $A = \{(x; y) \mid y \ge x^2 - 4x + 3\}$, $B = \{(x; y) \mid y \le -x^2 + 4x - 5\}$;

3) $A = \{(x; y) \mid x^2 + y^2 \ge 4\}$, $B = \{(x; y) \mid y \le x^2\}$.

Решение.

1)

Множество $C$ является пересечением множеств $A$ и $B$, то есть $C = A \cap B$. Точки $(x; y)$ множества $C$ должны удовлетворять системе неравенств: $$ \begin{cases} y \le -x^2 + 1 \\ y \ge -4 \end{cases} $$ Первое неравенство $y \le -x^2 + 1$ задает область на координатной плоскости, расположенную ниже параболы $y = -x^2 + 1$ (включая саму параболу). Это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вниз.
Второе неравенство $y \ge -4$ задает полуплоскость, расположенную выше прямой $y = -4$ (включая саму прямую).
Искомое множество $C$ — это область, заключенная между параболой $y = -x^2 + 1$ и прямой $y = -4$.
Найдем точки пересечения границ этих областей: $$-x^2 + 1 = -4$$ $$-x^2 = -5$$ $$x^2 = 5$$ $$x = \pm\sqrt{5}$$ Точки пересечения: $(-\sqrt{5}, -4)$ и $(\sqrt{5}, -4)$.
Изображение множества $C$ представляет собой фигуру, ограниченную сверху дугой параболы $y = -x^2 + 1$ и снизу отрезком прямой $y = -4$, соединяющим точки $(-\sqrt{5}, -4)$ и $(\sqrt{5}, -4)$. Все точки на границах фигуры принадлежат множеству $C$.

Ответ: Множество C — это область, ограниченная параболой $y = -x^2 + 1$ сверху и прямой $y = -4$ снизу, включая границы.

2)

Множество $C$ определяется системой неравенств: $$ \begin{cases} y \ge x^2 - 4x + 3 \\ y \le -x^2 + 4x - 5 \end{cases} $$ Рассмотрим первую границу: $y_1 = x^2 - 4x + 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Вершина находится в точке $(2, -1)$. Неравенство $y \ge x^2 - 4x + 3$ задает область над этой параболой, включая ее саму.
Рассмотрим вторую границу: $y_2 = -x^2 + 4x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
$y_v = -(2^2) + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Вершина также находится в точке $(2, -1)$. Неравенство $y \le -x^2 + 4x - 5$ задает область под этой параболой, включая ее саму.
Поскольку обе параболы имеют общую вершину $(2, -1)$, и одна направлена вверх, а другая вниз, их пересечение может быть только в этой вершине. Чтобы точка $(x, y)$ принадлежала множеству $C$, должно выполняться условие $x^2 - 4x + 3 \le y \le -x^2 + 4x - 5$. Это возможно только если $x^2 - 4x + 3 \le -x^2 + 4x - 5$.
Перенесем все члены в левую часть: $$2x^2 - 8x + 8 \le 0$$ Разделим на 2: $$x^2 - 4x + 4 \le 0$$ $$(x-2)^2 \le 0$$ Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное решение этого неравенства — $(x-2)^2 = 0$, что дает $x=2$.
Подставим $x=2$ в исходные неравенства: $$y \ge 2^2 - 4(2) + 3 \Rightarrow y \ge -1$$ $$y \le -(2^2) + 4(2) - 5 \Rightarrow y \le -1$$ Единственное значение $y$, удовлетворяющее обоим условиям, это $y = -1$. Таким образом, множество $C$ состоит из одной единственной точки.

Ответ: Множество C — это точка $(2, -1)$.

3)

Множество $C$ определяется системой неравенств: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 \ge 4 \\ y \le x^2 \end{cases} $$ Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 4$ задает область на координатной плоскости, состоящую из точек, лежащих на окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$, а также всех точек вне этой окружности.
Второе неравенство $y \le x^2$ задает область, расположенную под параболой $y = x^2$ (включая саму параболу). Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.
Искомое множество $C$ — это пересечение этих двух областей. То есть, это все точки, которые находятся одновременно вне круга (или на его границе) и под параболой (или на ней).
Найдем точки пересечения границ $x^2 + y^2 = 4$ и $y = x^2$. Подставим $y = x^2$ в уравнение окружности: $$x^2 + (x^2)^2 = 4 \Rightarrow y + y^2 = 4$$ $$y^2 + y - 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $y$: $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$$ Так как $y = x^2$, то $y \ge 0$. Следовательно, подходит только корень $y = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$.
Найдем соответствующие значения $x$: $$x^2 = y = \frac{\sqrt{17}-1}{2}$$ $$x = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}$$ Точки пересечения: $(-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$ и $(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}, \frac{\sqrt{17}-1}{2})$.
Изображение множества $C$ представляет собой часть плоскости, которая находится под параболой $y=x^2$ и одновременно вне круга с центром в начале координат и радиусом 2. Множество включает в себя свои границы.

Ответ: Множество C — это все точки плоскости, лежащие на и вне окружности $x^2+y^2=4$ и одновременно на и под параболой $y=x^2$.