Номер 16.10, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.10, страница 163.

Условие.

16.10. Изобразите график неравенства:

1) $x > \frac{8}{y};$

2) $y < -\frac{6}{x};$

3) $y \ge \frac{12}{x};$

4) $\frac{12}{xy} > 1.$

Решение.

1) $x > \frac{8}{y}$

Сначала определим область допустимых значений. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $y \ne 0$. Это означает, что ось абсцисс ($y=0$) не является частью решения.

Для решения неравенства необходимо избавиться от знаменателя, умножив обе части на $y$. При этом нужно рассмотреть два случая в зависимости от знака $y$.

Случай 1: $y > 0$.
Умножаем обе части неравенства на положительное число $y$, при этом знак неравенства сохраняется: $xy > 8$.

Случай 2: $y < 0$.
Умножаем обе части на отрицательное число $y$, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $xy < 8$.

Таким образом, решением является объединение множеств точек, удовлетворяющих двум системам неравенств: 1) $\begin{cases} y > 0 \\ xy > 8 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} y < 0 \\ xy < 8 \end{cases}$.

Границей для искомых областей является кривая $xy = 8$, или $y = \frac{8}{x}$. Это гипербола с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Поскольку исходное неравенство является строгим ($>$), граница изображается пунктирной линией.

Проанализируем каждую систему:
- Для первой системы ($y > 0$ и $xy > 8$), которая при $x>0$ равносильна $y > \frac{8}{x}$, решением является область в первом квадранте, расположенная выше ветви гиперболы.
- Для второй системы ($y < 0$ и $xy < 8$), которая при $x<0$ равносильна $y > \frac{8}{x}$, решением является область в третьем квадранте, расположенная выше ветви гиперболы (то есть между ветвью гиперболы и осью абсцисс).

Ответ: Графиком неравенства является множество точек, лежащих выше ветвей гиперболы $y = \frac{8}{x}$. Сама гипербола изображается пунктирной линией.

2) $y < -\frac{6}{x}$

Область допустимых значений для данного неравенства: $x \ne 0$. Таким образом, ось ординат ($x=0$) не входит в множество решений.

Границей области является график функции $y = -\frac{6}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных квадрантах. Так как неравенство строгое ($<$), гипербола изображается пунктирной линией.

Неравенство $y < -\frac{6}{x}$ задает множество всех точек координатной плоскости, которые лежат ниже графика функции $y = -\frac{6}{x}$.

Ответ: Графиком неравенства является область, расположенная ниже ветвей гиперболы $y = -\frac{6}{x}$. Сама гипербола изображается пунктирной линией.

3) $y \ge \frac{12}{x}$

Область допустимых значений: $x \ne 0$. Ось ординат ($x=0$) не входит в множество решений.

Границей является график функции $y = \frac{12}{x}$. Это гипербола с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки на гиперболе являются частью решения, поэтому она изображается сплошной линией.

Неравенство $y \ge \frac{12}{x}$ задает множество точек, расположенных на графике функции $y = \frac{12}{x}$ или выше него.

Ответ: Графиком неравенства является область, расположенная на и выше ветвей гиперболы $y = \frac{12}{x}$. Сама гипербола изображается сплошной линией.

4) $\frac{12}{xy} > 1$

Область допустимых значений: знаменатель $xy \ne 0$, что означает $x \ne 0$ и $y \ne 0$. Таким образом, координатные оси не входят в множество решений.

Преобразуем неравенство, перенеся 1 в левую часть и приведя к общему знаменателю: $\frac{12}{xy} - 1 > 0$
$\frac{12 - xy}{xy} > 0$

Полученная дробь положительна в том случае, когда ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Случай 1: Числитель и знаменатель положительны.
$\begin{cases} 12 - xy > 0 \\ xy > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} xy < 12 \\ xy > 0 \end{cases}$. Это можно записать в виде двойного неравенства $0 < xy < 12$.

Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны.
$\begin{cases} 12 - xy < 0 \\ xy < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} xy > 12 \\ xy < 0 \end{cases}$. Эта система не имеет решений, так как произведение $xy$ не может быть одновременно больше 12 и меньше 0.

Следовательно, решением исходного неравенства является множество точек, для которых выполняется условие $0 < xy < 12$.

- Неравенство $xy > 0$ выполняется для всех точек в первом и третьем координатных квадрантах (где $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки). - Неравенство $xy < 12$ выполняется для всех точек, расположенных "между" ветвями гиперболы $y = \frac{12}{x}$.

Границами искомой области являются координатные оси (где $xy=0$) и гипербола $y = \frac{12}{x}$ (где $xy=12$). Поскольку все неравенства строгие, границы не включаются в решение и изображаются пунктирными линиями.

Ответ: Графиком неравенства является область, заключенная между координатными осями и ветвями гиперболы $y = \frac{12}{x}$, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах. Границы области (оси и гипербола) изображаются пунктирными линиями.