Номер 16.13, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.13, страница 163.

Условие.

16.13. Изобразите график неравенства:

1) $\sqrt{1 - |x|(y - x^2)} > 0;$

2) $\sqrt{1 - |x|(y - x^2)} \le 0;$

3) $(y + x + 2)\sqrt{x^2 + y^2 - 2} \le 0.$

Решение.

1)

Исходное неравенство: $\sqrt{1-|x|(y-x^2)} > 0$.

Для того чтобы значение квадратного корня было определено и было строго больше нуля, подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$1-|x|(y-x^2) > 0$

$1 > |x|(y-x^2)$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x = 0$.

Неравенство принимает вид $1 > 0 \cdot (y - 0^2)$, то есть $1 > 0$. Это неравенство верно для любого значения $y$. Следовательно, вся ось ординат (прямая $x=0$) является частью решения.

Случай 2: $x \neq 0$.

В этом случае $|x| > 0$, поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $|x|$, не меняя знака неравенства:

$\frac{1}{|x|} > y - x^2$

Выразим $y$:

$y < x^2 + \frac{1}{|x|}$

Объединяя оба случая, получаем, что решением является множество точек на оси $y$ и множество точек, удовлетворяющих неравенству $y < x^2 + \frac{1}{|x|}$ при $x \neq 0$.

Графиком является область, расположенная ниже кривой $y = x^2 + \frac{1}{|x|}$. Сама кривая, являющаяся границей, не включается в решение. Ось $y$ ($x=0$) также является решением. Таким образом, искомое множество точек — это вся область ниже графика функции $y = x^2 + \frac{1}{|x|}$, а также вся ось $y$.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих условиям: $x=0$ для любого $y$, или $y < x^2 + \frac{1}{|x|}$ для $x \neq 0$. Графически это область под кривой $y = x^2 + \frac{1}{|x|}$, включая всю ось $y$. Граница $y = x^2 + \frac{1}{|x|}$ не включается в решение.

2)

Исходное неравенство: $\sqrt{1-|x|(y-x^2)} \le 0$.

По определению, квадратный корень из действительного числа не может быть отрицательным. Он может быть только больше или равен нулю. Следовательно, единственная возможность для выполнения данного неравенства — это равенство нулю:

$\sqrt{1-|x|(y-x^2)} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$1-|x|(y-x^2) = 0$

$|x|(y-x^2) = 1$

Если $x=0$, уравнение принимает вид $0 \cdot (y-0) = 1$, то есть $0=1$, что является ложным. Следовательно, $x \neq 0$.

Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $|x|$:

$y-x^2 = \frac{1}{|x|}$

$y = x^2 + \frac{1}{|x|}$

Таким образом, графиком данного неравенства является график функции $y = x^2 + \frac{1}{|x|}$ при $x \neq 0$. Этот график состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $y$, для которой ось $y$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = x^2 + \frac{1}{|x|}$ при $x \neq 0$.

3)

Исходное неравенство: $(y + x + 2)\sqrt{x^2 + y^2 - 2} \le 0$.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 + y^2 - 2 \ge 0 \implies x^2 + y^2 \ge 2$

Это множество точек, лежащих на окружности с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{2}$ или вне ее.

Произведение двух множителей неположительно, если один из них равен нулю, или они имеют разные знаки. Множитель $\sqrt{x^2 + y^2 - 2}$ всегда неотрицателен в своей области определения. Поэтому неравенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: $\sqrt{x^2 + y^2 - 2} = 0$.

$x^2 + y^2 - 2 = 0 \implies x^2 + y^2 = 2$.

Это уравнение окружности с центром в $(0,0)$ и радиусом $R=\sqrt{2}$. Все точки этой окружности являются решением.

Случай 2: $\sqrt{x^2 + y^2 - 2} > 0$ и $y + x + 2 \le 0$.

Первое условие, $\sqrt{x^2 + y^2 - 2} > 0$, эквивалентно $x^2 + y^2 > 2$. Это область строго вне окружности.

Второе условие, $y + x + 2 \le 0$, эквивалентно $y \le -x - 2$. Это замкнутая полуплоскость, расположенная на прямой $y = -x - 2$ и ниже нее.

Таким образом, решение представляет собой объединение множеств из двух случаев: всех точек окружности $x^2 + y^2 = 2$ и всех точек, удовлетворяющих одновременно условиям $x^2 + y^2 > 2$ и $y \le -x - 2$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой $y = -x - 2$ и окружности $x^2 + y^2 = 2$. Расстояние от центра окружности $(0,0)$ до прямой $x+y+2=0$ равно $d = \frac{|1\cdot0 + 1\cdot0 + 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Поскольку расстояние от центра до прямой равно радиусу окружности ($d=R$), прямая касается окружности. Найдем точку касания: $x = -1, y = -1$.

Все точки полуплоскости $y \le -x - 2$ лежат вне открытого круга $x^2 + y^2 < 2$, а точка касания $(-1,-1)$ лежит на окружности. Следовательно, все точки полуплоскости $y \le -x - 2$ удовлетворяют условию ОДЗ $x^2 + y^2 \ge 2$.

Значит, решением из второго случая является вся полуплоскость $y \le -x - 2$. Итоговое решение — это объединение окружности $x^2 + y^2 = 2$ и полуплоскости $y \le -x - 2$.

Ответ: Множество точек, являющееся объединением окружности $x^2 + y^2 = 2$ и замкнутой полуплоскости $y \le -x - 2$.