Номер 16.20, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.20, страница 163.

Условие.

16.20. Найдите все значения параметра $a$, при которых система неравенств $\begin{cases} x^2 + a + 4x + 3 \le 0, \\ 2a - x + 2 \ge 0 \end{cases}$ имеет единственное решение.

Решение.

Для того чтобы найти все значения параметра $a$, при которых система неравенств имеет единственное решение, проанализируем каждое неравенство в отдельности. $$ \begin{cases} x^2 + a + 4x + 3 \le 0 \\ 2a - x + 2 \ge 0 \end{cases} $$

Сначала преобразуем второе, более простое, неравенство: $2a - x + 2 \ge 0$ Выразим $x$: $x \le 2a + 2$. Решением этого неравенства является числовой луч $(-\infty, 2a+2]$.

Теперь рассмотрим первое неравенство. Приведём его к стандартному виду: $x^2 + 4x + (a+3) \le 0$. Это квадратичное неравенство относительно $x$. Его решение зависит от знака дискриминанта $D$ квадратного трёхчлена $f(x) = x^2 + 4x + (a+3)$. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вычислим дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+3) = 16 - 4a - 12 = 4 - 4a = 4(1-a)$.

Система будет иметь единственное решение, если пересечение множеств решений обоих неравенств будет состоять из одной точки. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Первое неравенство имеет единственное решение.
Это происходит, когда дискриминант равен нулю ($D=0$), так как ветви параболы направлены вверх. $D = 4(1-a) = 0 \implies a = 1$. При $a=1$ первое неравенство принимает вид $x^2 + 4x + 4 \le 0$, или $(x+2)^2 \le 0$. Единственным решением этого неравенства является $x = -2$. Чтобы это значение было решением системы, оно должно удовлетворять и второму неравенству: Подставим $x=-2$ и $a=1$ в неравенство $x \le 2a + 2$: $-2 \le 2(1) + 2 \implies -2 \le 4$. Неравенство верное. Следовательно, при $a=1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Первое неравенство имеет в качестве решения отрезок, который пересекается с решением второго неравенства (лучом) в одной точке.
Это происходит, когда $D > 0$, то есть $4(1-a) > 0$, откуда $a < 1$. В этом случае корнями уравнения $x^2 + 4x + (a+3) = 0$ являются $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(1-a)}}{2} = -2 \pm \sqrt{1-a}$. Решением первого неравенства является отрезок $[-2 - \sqrt{1-a}, -2 + \sqrt{1-a}]$. Решением второго неравенства является луч $(-\infty, 2a+2]$. Их пересечение будет состоять из одной точки, только если левый конец отрезка совпадает с правым концом луча: $-2 - \sqrt{1-a} = 2a + 2$. Решим полученное иррациональное уравнение: $-\sqrt{1-a} = 2a + 4$ $\sqrt{1-a} = -(2a+4)$. Это уравнение может иметь решение только при условии, что его правая часть неотрицательна: $-(2a+4) \ge 0 \implies 2a+4 \le 0 \implies a \le -2$. При этом условии ($a \le -2$, которое также удовлетворяет исходному $a < 1$) возводим обе части уравнения в квадрат: $1-a = (-(2a+4))^2$ $1-a = 4a^2 + 16a + 16$ $4a^2 + 17a + 15 = 0$. Находим корни этого квадратного уравнения относительно $a$. Дискриминант $D_a = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 289 - 240 = 49$. $a = \frac{-17 \pm \sqrt{49}}{8} = \frac{-17 \pm 7}{8}$. Получаем два значения: $a_1 = \frac{-17-7}{8} = -3$ и $a_2 = \frac{-17+7}{8} = -1.25$. Проверяем найденные значения по условию $a \le -2$. $a_1 = -3$ удовлетворяет этому условию. $a_2 = -1.25$ не удовлетворяет, следовательно, это посторонний корень. Таким образом, при $a = -3$ система также имеет единственное решение.

Если $D < 0$ (т.е. $a>1$), то первое неравенство не имеет решений, а значит, и вся система решений не имеет.

Ответ: $a=-3; a=1$.