Номер 16.21, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.21, страница 163.

Условие.

16.21. Найдите все значения параметра $a$, при которых система неравенств $\begin{cases} x^2 - 4x + a \le 0, \\ x^2 + 2x - 3a \le 0 \end{cases}$ имеет единственное решение.

Решение.

Рассмотрим данную систему неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - 4x + a \le 0, \\x^2 + 2x - 3a \le 0.\end{cases}$$

Каждое неравенство является квадратным относительно переменной $x$. Решением такого неравенства (при условии, что оно существует) является замкнутый промежуток, одна точка или пустое множество. Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых это пересечение состоит из одной точки.

Проанализируем каждое неравенство отдельно.

1. Для неравенства $x^2 - 4x + a \le 0$ рассмотрим соответствующую функцию $f(x) = x^2 - 4x + a$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство будет иметь решения, если дискриминант квадратного трехчлена $D_1$ неотрицателен.

$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

Условие существования решений: $D_1 \ge 0 \implies 16 - 4a \ge 0 \implies a \le 4$.

• Если $a < 4$, то $D_1 > 0$, и решением неравенства является отрезок $[2 - \sqrt{4-a}, 2 + \sqrt{4-a}]$.
• Если $a = 4$, то $D_1 = 0$, и неравенство $(x-2)^2 \le 0$ имеет единственное решение $x=2$.

2. Для неравенства $x^2 + 2x - 3a \le 0$ рассмотрим функцию $g(x) = x^2 + 2x - 3a$. Это также парабола с ветвями вверх. Неравенство будет иметь решения, если дискриминант $D_2$ неотрицателен.

$D_2 = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3a) = 4 + 12a$.

Условие существования решений: $D_2 \ge 0 \implies 4 + 12a \ge 0 \implies a \ge -1/3$.

• Если $a > -1/3$, то $D_2 > 0$, и решением неравенства является отрезок $[-1 - \sqrt{1+3a}, -1 + \sqrt{1+3a}]$.
• Если $a = -1/3$, то $D_2 = 0$, и неравенство $(x+1)^2 \le 0$ имеет единственное решение $x=-1$.

Таким образом, система может иметь решения только при условии $a \in [-1/3, 4]$.

Рассмотрим возможные случаи, когда система имеет единственное решение.

Случай 1. Одно из неравенств имеет единственное решение, и это решение удовлетворяет второму неравенству.

а) Первое неравенство имеет единственное решение при $a=4$. Это решение $x=2$. Проверим, удовлетворяет ли оно второму неравенству при $a=4$:

$2^2 + 2(2) - 3(4) = 4 + 4 - 12 = -4 \le 0$.

Неравенство верно. Значит, при $a=4$ система имеет единственное решение $x=2$.

б) Второе неравенство имеет единственное решение при $a=-1/3$. Это решение $x=-1$. Проверим, удовлетворяет ли оно первому неравенству при $a=-1/3$:

$(-1)^2 - 4(-1) + (-1/3) = 1 + 4 - 1/3 = 14/3 \le 0$.

Неравенство неверно. Значит, при $a=-1/3$ у системы нет решений.

Случай 2. Оба неравенства имеют в качестве решений отрезки, которые пересекаются в одной точке.

Это происходит, когда $a \in (-1/3, 4)$, и отрезки решений касаются друг друга, то есть конец одного отрезка совпадает с началом другого.

Решение первого неравенства: $[2 - \sqrt{4-a}, 2 + \sqrt{4-a}]$.

Решение второго неравенства: $[-1 - \sqrt{1+3a}, -1 + \sqrt{1+3a}]$.

Поскольку центр первого отрезка ($x=2$) расположен правее центра второго отрезка ($x=-1$), их пересечение может состоять из одной точки только в случае, если правый конец второго отрезка совпадает с левым концом первого:

$-1 + \sqrt{1+3a} = 2 - \sqrt{4-a}$

Перенесем слагаемые, чтобы избавиться от корней:

$\sqrt{1+3a} + \sqrt{4-a} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(1+3a) + 2\sqrt{(1+3a)(4-a)} + (4-a) = 9$

$2a + 5 + 2\sqrt{-3a^2 + 11a + 4} = 9$

$2\sqrt{-3a^2 + 11a + 4} = 4 - 2a$

$\sqrt{-3a^2 + 11a + 4} = 2 - a$

Возведение в квадрат возможно при условии $2 - a \ge 0$, то есть $a \le 2$. Снова возведем обе части в квадрат:

$-3a^2 + 11a + 4 = (2-a)^2$

$-3a^2 + 11a + 4 = 4 - 4a + a^2$

$4a^2 - 15a = 0$

$a(4a - 15) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $a_1=0$ и $a_2=15/4$.

Проверим найденные значения на соответствие условиям $a \in (-1/3, 4)$ и $a \le 2$.

• $a=0$ удовлетворяет обоим условиям, поэтому является решением.
• $a=15/4 = 3.75$ не удовлетворяет условию $a \le 2$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, мы нашли два значения параметра $a$, при которых система имеет единственное решение: $a=4$ и $a=0$.

Ответ: $a=0; a=4$.