Номер 16.22, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.22, страница 163.

Условие.

16.22. При каких значениях параметра $a$ система

$\begin{cases} x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0, \\ x + a^2 = 0 \end{cases}$ имеет решения?

Решение.

Для того чтобы данная система имела решения, необходимо, чтобы значение переменной $x$, найденное из второго уравнения, удовлетворяло первому неравенству системы.

Из второго уравнения системы $x + a^2 = 0$ выражаем $x$:
$x = -a^2$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое неравенство $x^2 - (3a + 1)x + 2a^2 + 2a < 0$:
$(-a^2)^2 - (3a + 1)(-a^2) + 2a^2 + 2a < 0$

Упростим полученное неравенство, раскрыв скобки:
$a^4 + (3a + 1)a^2 + 2a^2 + 2a < 0$
$a^4 + 3a^3 + a^2 + 2a^2 + 2a < 0$
$a^4 + 3a^3 + 3a^2 + 2a < 0$

Для решения этого неравенства разложим его левую часть на множители. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$a(a^3 + 3a^2 + 3a + 2) < 0$

Рассмотрим кубический многочлен $P(a) = a^3 + 3a^2 + 3a + 2$. Найдем его корни. Методом подбора целых корней среди делителей свободного члена (числа 2) находим, что $a = -2$ является корнем, так как:
$P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 + 3(4) - 6 + 2 = -8 + 12 - 6 + 2 = 0$
Следовательно, многочлен делится на $(a + 2)$. Разложим его на множители, например, методом группировки:
$a^3 + 3a^2 + 3a + 2 = (a^3 + 2a^2) + (a^2 + 2a) + (a + 2) = a^2(a + 2) + a(a + 2) + 1(a + 2) = (a + 2)(a^2 + a + 1)$

Таким образом, неравенство принимает вид:
$a(a + 2)(a^2 + a + 1) < 0$

Рассмотрим множитель $a^2 + a + 1$. Это квадратный трехчлен. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $a^2$ положительный (равен 1), этот трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном $a$.

Так как $a^2 + a + 1 > 0$ для всех $a$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства. Получаем:
$a(a + 2) < 0$

Это простое квадратное неравенство. Его решения находятся между корнями уравнения $a(a + 2) = 0$, то есть между $a = -2$ и $a = 0$. Следовательно, решением неравенства является интервал $(-2; 0)$.

Ответ: $a \in (-2; 0)$.