Номер 16.24, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.24, страница 164.

Условие.

16.24. При каких значениях параметра $a$ неравенство $2 > |x + a| + x^2$ имеет хотя бы одно положительное решение?

Решение.

Перепишем исходное неравенство $2 > |x + a| + x^2$ в виде $|x + a| < 2 - x^2$. По условию задачи, мы ищем такие значения параметра $a$, при которых это неравенство имеет хотя бы одно положительное решение, то есть существует $x > 0$, удовлетворяющее этому неравенству.

Поскольку левая часть неравенства $|x + a|$ неотрицательна, правая часть должна быть строго положительной: $2 - x^2 > 0$. Отсюда следует, что $x^2 < 2$, то есть $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$. Учитывая условие $x > 0$, получаем, что положительные решения могут существовать только в интервале $x \in (0, \sqrt{2})$.

Неравенство с модулем $|x + a| < 2 - x^2$ равносильно двойному неравенству:

$-(2 - x^2) < x + a < 2 - x^2$.

Выразим параметр $a$ из этого неравенства:

$x^2 - 2 < x + a \implies a > x^2 - x - 2$

$x + a < 2 - x^2 \implies a < -x^2 - x + 2$

Таким образом, для некоторого $x \in (0, \sqrt{2})$ неравенство имеет решение тогда и только тогда, когда $a$ удовлетворяет условию $x^2 - x - 2 < a < -x^2 - x + 2$.

Задача сводится к нахождению множества всех значений $a$, для которых существует хотя бы один $x \in (0, \sqrt{2})$, удовлетворяющий этому двойному неравенству. Это множество представляет собой объединение всех интервалов $(x^2 - x - 2, -x^2 - x + 2)$ для всех $x \in (0, \sqrt{2})$. Обозначим функции, ограничивающие интервал для $a$:

Нижняя граница: $g(x) = x^2 - x - 2$.

Верхняя граница: $f(x) = -x^2 - x + 2$.

Искомое множество значений $a$ есть интервал $(\inf_{x \in (0, \sqrt{2})} g(x), \sup_{x \in (0, \sqrt{2})} f(x))$.

Найдем наименьшее значение функции $g(x) = x^2 - x - 2$ на интервале $(0, \sqrt{2})$. График этой функции — парабола с ветвями вверх. Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = - \frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Поскольку $x_v = 1/2 \in (0, \sqrt{2})$, наименьшее значение функции на этом интервале достигается в вершине.

$\inf_{x \in (0, \sqrt{2})} g(x) = g(1/2) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4}$.

Найдем наибольшее значение функции $f(x) = -x^2 - x + 2$ на интервале $(0, \sqrt{2})$. График этой функции — парабола с ветвями вниз. Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = - \frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -\frac{1}{2}$. Поскольку $x_v = -1/2 \notin (0, \sqrt{2})$, и находится левее этого интервала, функция $f(x)$ является строго убывающей на интервале $(0, \sqrt{2})$. Следовательно, точная верхняя грань (супремум) функции на этом интервале достигается при $x \to 0^+$.

$\sup_{x \in (0, \sqrt{2})} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x^2 - x + 2) = 2$.

Объединив полученные результаты, находим, что искомое множество значений параметра $a$ — это интервал от инфимума функции $g(x)$ до супремума функции $f(x)$ на $(0, \sqrt{2})$. Таким образом, $a$ принадлежит интервалу $(-\frac{9}{4}; 2)$.

Ответ: $a \in (-9/4; 2)$.