Номер 17.1, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.1, страница 168.

Условие.

17.1. Докажите неравенство:

1) $(y+5)(y-2) \ge 3y-10;$

2) $a(a-2) \ge -1.$

Решение.

1) Чтобы доказать неравенство $(y + 5)(y - 2) \ge 3y - 10$, преобразуем его левую часть, раскрыв скобки.

$(y + 5)(y - 2) = y \cdot y - 2 \cdot y + 5 \cdot y - 5 \cdot 2 = y^2 + 3y - 10$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$y^2 + 3y - 10 \ge 3y - 10$.

Перенесём все члены из правой части в левую, изменив их знаки на противоположные:

$y^2 + 3y - 10 - 3y + 10 \ge 0$.

Приведём подобные слагаемые:

$y^2 + (3y - 3y) + (-10 + 10) \ge 0$.

В результате получаем:

$y^2 \ge 0$.

Данное неравенство верно для любого действительного числа $y$, так как квадрат любого числа всегда является неотрицательной величиной (то есть больше или равен нулю). Поскольку мы выполняли равносильные преобразования, исходное неравенство также верно для любого $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Чтобы доказать неравенство $a(a - 2) \ge -1$, раскроем скобки и перенесём все члены в одну сторону.

Раскрываем скобки в левой части:

$a^2 - 2a \ge -1$.

Перенесём $-1$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$a^2 - 2a + 1 \ge 0$.

Заметим, что выражение в левой части представляет собой формулу полного квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x = a$ и $y = 1$.

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = (a - 1)^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(a - 1)^2 \ge 0$.

Это неравенство справедливо для любого действительного значения $a$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, исходное неравенство, равносильное этому, также верно.

Ответ: Неравенство доказано.