Номер 17.7, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.7, страница 169.

Условие.

17.7. Докажите неравенство $\frac{a^2}{a^4 + 1} \leq \frac{1}{2}$.

Решение.

Для доказательства неравенства преобразуем его, выполнив равносильные переходы. Исходное неравенство:

$\frac{a^2}{a^4 + 1} \le \frac{1}{2}$

Знаменатель левой части $a^4 + 1$ всегда положителен, так как $a^4 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, и, следовательно, $a^4 + 1 \ge 1$. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $2(a^4 + 1)$ (что является положительным числом), не меняя знака неравенства:

$2 \cdot a^2 \le 1 \cdot (a^4 + 1)$

$2a^2 \le a^4 + 1$

Теперь перенесем все члены в правую часть:

$0 \le a^4 - 2a^2 + 1$

Выражение в правой части является полным квадратом разности. Его можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = a^2$ и $y = 1$:

$a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = (a^2 - 1)^2$

Таким образом, мы получили неравенство:

$0 \le (a^2 - 1)^2$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Поскольку $a^2 - 1$ является действительным числом для любого $a$, то $(a^2 - 1)^2 \ge 0$ — это верное утверждение.

Так как мы пришли к очевидно верному неравенству с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство верно для любого действительного числа $a$.

Ответ: Неравенство доказано.