Номер 17.12, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.12, страница 169.

Условие.

17.12. Докажите, что если $a \in [0; 1]$, то $a \geq a^2$.

Решение.

Для доказательства данного утверждения преобразуем неравенство $a \geq a^2$. Перенесём $a^2$ в левую часть:

$a - a^2 \geq 0$

Теперь вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(1 - a) \geq 0$

Рассмотрим полученное неравенство с учётом условия, что $a \in [0; 1]$. Это условие означает, что $0 \leq a \leq 1$. Проанализируем знаки множителей в левой части неравенства.

1. Первый множитель $a$. Согласно условию $a \geq 0$, этот множитель является неотрицательным.

2. Второй множитель $(1 - a)$. Из условия $a \leq 1$ следует, что $1 - a \geq 0$. Таким образом, второй множитель также является неотрицательным.

Произведение двух неотрицательных чисел ($a$ и $1 - a$) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $a(1 - a) \geq 0$ является верным для всех значений $a$ из отрезка $[0; 1]$.

Поскольку это неравенство равносильно исходному ($a \geq a^2$), утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.