Номер 17.16, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.16, страница 169.

Условие.

17.16. Докажите, что при любых значениях $x$, $y$ и $z$ хотя бы одно из выражений $x^2 + 2xy + z^2$, $y^2 + 2yz + x^2$, $z^2 + 2zx + y^2$ принимает неотрицательные значения.

Решение.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что для некоторых действительных чисел $x$, $y$ и $z$ все три данных выражения принимают отрицательные значения:

$x^2 + 2xy + z^2 < 0$

$y^2 + 2yz + x^2 < 0$

$z^2 + 2zx + y^2 < 0$

Сложим левые и правые части этих трех неравенств:

$(x^2 + 2xy + z^2) + (y^2 + 2yz + x^2) + (z^2 + 2zx + y^2) < 0 + 0 + 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz + 2zx < 0$

Заметим, что левую часть можно представить в виде суммы квадратов. Перегруппируем слагаемые:

$(x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 2yz + z^2) + (z^2 + 2zx + x^2) < 0$

Используя формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$, получим:

$(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2 < 0$

Однако, мы знаем, что квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. То есть, $(x + y)^2 \ge 0$, $(y + z)^2 \ge 0$ и $(z + x)^2 \ge 0$ для любых $x$, $y$ и $z$.

Сумма трех неотрицательных чисел также всегда неотрицательна:

$(x + y)^2 + (y + z)^2 + (z + x)^2 \ge 0$

Мы получили противоречие: выражение, которое всегда больше или равно нулю, согласно нашему предположению, должно быть строго меньше нуля. Это противоречие означает, что наше исходное предположение неверно.

Следовательно, не могут все три выражения быть одновременно отрицательными. Это означает, что хотя бы одно из них должно быть неотрицательным (больше или равным нулю), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.