Номер 17.22, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.22, страница 170.

Условие.

17.22. Докажите, что при $b > 0$ выполняется неравенство $\frac{a^3}{a^2 + b^2} \ge a - \frac{b}{2}$.

Решение.

Для доказательства проведем равносильные преобразования исходного неравенства. Перенесем слагаемое $a$ из правой части в левую:

$\frac{a^3}{a^2 + b^2} - a \ge -\frac{b}{2}$

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю $a^2 + b^2$:

$\frac{a^3 - a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} \ge -\frac{b}{2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{a^3 - a^3 - ab^2}{a^2 + b^2} \ge -\frac{b}{2}$

$\frac{-ab^2}{a^2 + b^2} \ge -\frac{b}{2}$

Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{ab^2}{a^2 + b^2} \le \frac{b}{2}$

Поскольку по условию $b > 0$, мы можем разделить обе части на положительное число $b$ без изменения знака неравенства:

$\frac{ab}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2}$

Знаменатель $a^2 + b^2$ строго положителен, так как $a^2 \ge 0$ и по условию $b > 0$, следовательно, $b^2 > 0$. Умножим обе части неравенства на положительное выражение $2(a^2 + b^2)$:

$2ab \le a^2 + b^2$

Перенесем $2ab$ в правую часть:

$0 \le a^2 - 2ab + b^2$

В правой части неравенства стоит формула полного квадрата разности:

$0 \le (a - b)^2$

Последнее неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство является верным.

Ответ: Неравенство доказано.