Номер 17.24, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.24, страница 170.

Условие.

17.24. Докажите, что если $x > 0, y > 0$, то $\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его, рассмотрев разность левой и правой частей. Нам нужно доказать, что эта разность неотрицательна:

$\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} - \frac{(a+b)^2}{x+y} \ge 0$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $xy(x+y)$. Так как по условию $x > 0$ и $y > 0$, то знаменатель $xy(x+y)$ строго положителен.

$\frac{a^2y(x+y) + b^2x(x+y) - (a+b)^2xy}{xy(x+y)}$

Теперь раскроем скобки в числителе и упростим его:

$a^2y(x+y) + b^2x(x+y) - (a^2+2ab+b^2)xy$

$= a^2xy + a^2y^2 + b^2x^2 + b^2xy - a^2xy - 2abxy - b^2xy$

После приведения подобных слагаемых в числителе получаем:

$a^2y^2 + b^2x^2 - 2abxy$

Это выражение является формулой полного квадрата разности:

$a^2y^2 - 2abxy + b^2x^2 = (ay - bx)^2$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{(ay - bx)^2}{xy(x+y)}$

Проанализируем знак полученной дроби:

1. Числитель $(ay - bx)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(ay - bx)^2 \ge 0$.

2. Знаменатель $xy(x+y)$ является произведением положительных чисел, так как по условию $x > 0$ и $y > 0$. Следовательно, знаменатель строго положителен: $xy(x+y) > 0$.

Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, всегда будет неотрицательной. Значит,

$\frac{(ay - bx)^2}{xy(x+y)} \ge 0$

Мы показали, что разность левой и правой частей исходного неравенства неотрицательна, следовательно, неравенство $\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.