Номер 17.21, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.21, страница 170.

Условие.

17.21. Для $a > 0$, $b > 0$ докажите неравенство $a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a$, где $n$ — чётное натуральное число.

Решение.

Для доказательства неравенства $a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a$ выполним равносильные преобразования. Перенесём все члены неравенства в левую часть:

$a^{n+1} + b^{n+1} - a^n b - b^n a \geq 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^{n+1} - a^n b) + (b^{n+1} - b^n a) \geq 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$a^n(a - b) + b^n(b - a) \geq 0$

Преобразуем второе слагаемое, вынеся $-1$ за скобки:

$a^n(a - b) - b^n(a - b) \geq 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a-b)$:

$(a^n - b^n)(a - b) \geq 0$

Рассмотрим это неравенство при заданных условиях $a > 0$, $b > 0$. Возможны три случая:

1. Если $a = b$, то левая часть неравенства равна $(a^n - a^n)(a - a) = 0 \cdot 0 = 0$. Неравенство $0 \geq 0$ верно.

2. Если $a > b$, то множитель $(a - b)$ положителен. Так как $a > b > 0$ и $n$ — натуральное число, то $a^n > b^n$, следовательно, множитель $(a^n - b^n)$ также положителен. Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому $(a^n - b^n)(a - b) > 0$. Неравенство верно.

3. Если $a < b$, то множитель $(a - b)$ отрицателен. Так как $0 < a < b$ и $n$ — натуральное число, то $a^n < b^n$, следовательно, множитель $(a^n - b^n)$ также отрицателен. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому $(a^n - b^n)(a - b) > 0$. Неравенство верно.

Таким образом, во всех возможных случаях для положительных $a$ и $b$ неравенство $(a^n - b^n)(a - b) \geq 0$ выполняется. Следовательно, и равносильное ему исходное неравенство $a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a$ также является верным. Условие, что $n$ — чётное натуральное число, не является обязательным для доказательства при $a > 0$ и $b > 0$, так как неравенство справедливо для любого натурального $n$.

Ответ: Неравенство доказано.