Номер 17.23, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.23, страница 170.

Условие.

17.23. Докажите, что при $a > 0$ и $b > 0$ выполняется неравенство

$\frac{a}{b+2a} + \frac{b}{a+2b} \le \frac{2}{3}$

Решение.

Для доказательства неравенства $$ \frac{a}{b+2a} + \frac{b}{a+2b} \le \frac{2}{3} $$ при $a > 0$ и $b > 0$, преобразуем его, показав, что разность правой и левой частей неотрицательна.

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{2}{3} - \left(\frac{a}{b+2a} + \frac{b}{a+2b}\right) $$

Сначала приведем к общему знаменателю сумму в скобках:

$$ \frac{a}{b+2a} + \frac{b}{a+2b} = \frac{a(a+2b) + b(b+2a)}{(b+2a)(a+2b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 + 2ab}{2a^2 + ab + 4ab + 2b^2} = \frac{a^2 + 4ab + b^2}{2a^2 + 5ab + 2b^2} $$

Теперь подставим полученную дробь обратно в исходное выражение:

$$ \frac{2}{3} - \frac{a^2 + 4ab + b^2}{2a^2 + 5ab + 2b^2} $$

Приведем это выражение к общему знаменателю $3(2a^2 + 5ab + 2b^2)$:

$$ \frac{2(2a^2 + 5ab + 2b^2) - 3(a^2 + 4ab + b^2)}{3(2a^2 + 5ab + 2b^2)} $$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$$ (4a^2 + 10ab + 4b^2) - (3a^2 + 12ab + 3b^2) = 4a^2 - 3a^2 + 10ab - 12ab + 4b^2 - 3b^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно следующему:

$$ \frac{(a-b)^2}{3(2a^2 + 5ab + 2b^2)} \ge 0 $$

Проанализируем полученную дробь:

1. Числитель $(a-b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$.

2. Знаменатель $3(2a^2 + 5ab + 2b^2)$. По условию $a > 0$ и $b > 0$, поэтому все слагаемые в скобках ($2a^2$, $5ab$, $2b^2$) положительны. Их сумма также положительна. Следовательно, знаменатель $3(2a^2 + 5ab + 2b^2)$ строго положителен.

Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель строго положителен, всегда будет неотрицательной (больше или равна нулю). Это означает, что неравенство $$ \frac{(a-b)^2}{3(2a^2 + 5ab + 2b^2)} \ge 0 $$ верно для любых $a > 0$ и $b > 0$.

Следовательно, исходное неравенство доказано. Равенство достигается в том случае, когда числитель равен нулю, то есть при $(a-b)^2 = 0$, что выполняется при $a=b$.

Ответ: Неравенство доказано.