Номер 17.29, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.29, страница 170.

Условие.

17.29. Докажите, что при любых $n \in N$ выполняется неравенство:

1) $2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1} > \frac{1}{\sqrt{n}}$;

2) $2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}$.

Решение.

1) Докажем неравенство $2\sqrt{n} - 2\sqrt{n-1} > \frac{1}{\sqrt{n}}$ для всех натуральных $n$.

Область допустимых значений для данного неравенства определяется условием $n-1 \ge 0$, то есть $n \ge 1$. Так как $n \in \mathbb{N}$, это условие выполняется для всех натуральных чисел $n \ge 1$.

Преобразуем левую часть неравенства. Для этого вынесем 2 за скобки и умножим и разделим выражение на сопряженное к $(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$, то есть на $(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})$:

$2\sqrt{n} - 2\sqrt{n-1} = 2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) = \frac{2(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}}$

Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{2((\sqrt{n})^2 - (\sqrt{n-1})^2)}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \frac{2(n - (n-1))}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \frac{2(n - n + 1)}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} > \frac{1}{\sqrt{n}}$

Так как при $n \ge 1$ обе части неравенства положительны, мы можем избавиться от дробей, умножив обе части на положительное выражение $\sqrt{n}(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})$. Знак неравенства при этом не изменится.

$2\sqrt{n} > \sqrt{n} + \sqrt{n-1}$

Вычтем $\sqrt{n}$ из обеих частей неравенства:

$\sqrt{n} > \sqrt{n-1}$

Функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей на своей области определения. Поэтому, так как $n > n-1$ (что эквивалентно $1 > 0$), неравенство $\sqrt{n} > \sqrt{n-1}$ также является верным.

Поскольку мы пришли к истинному утверждению с помощью равносильных преобразований, исходное неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{n}}$ для всех натуральных $n$.

Область допустимых значений: $n \in \mathbb{N}$, то есть $n \ge 1$. Все выражения в неравенстве определены.

Преобразуем левую часть неравенства, используя тот же метод умножения на сопряженное выражение:

$2\sqrt{n+1} - 2\sqrt{n} = 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \frac{2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

Применив формулу разности квадратов в числителе, получаем:

$\frac{2((\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{2((n+1) - n)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{2(1)}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$\frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}}$

Обе части неравенства положительны, поэтому мы можем умножить их на положительное число $\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})$ без изменения знака неравенства:

$2\sqrt{n} < \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$

Вычтем $\sqrt{n}$ из обеих частей:

$\sqrt{n} < \sqrt{n+1}$

Так как функция $y = \sqrt{x}$ является строго возрастающей, а $n < n+1$ (что эквивалентно $0 < 1$) является истинным для любого $n$, то и неравенство $\sqrt{n} < \sqrt{n+1}$ также истинно.

Таким образом, мы доказали исходное неравенство, так как все наши преобразования были равносильными.

Ответ: Что и требовалось доказать.