Номер 17.35, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.35, страница 170.

Условие.

17.35. Докажите неравенство $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4abcd$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для четырех неотрицательных чисел. Для любых четырех неотрицательных чисел $x_1, x_2, x_3, x_4$ справедливо:

$$ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \ge \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4} $$

Поскольку для любых действительных чисел $a, b, c, d$ их четвертые степени $a^4, b^4, c^4, d^4$ всегда неотрицательны, мы можем применить к ним это неравенство:

$$ \frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}{4} \ge \sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4} $$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$$ \sqrt[4]{a^4 b^4 c^4 d^4} = \sqrt[4]{(abcd)^4} = |abcd| $$

Таким образом, мы получаем $\frac{a^4 + b^4 + c^4 + d^4}{4} \ge |abcd|$. Умножив обе части неравенства на 4, приходим к следующему:

$$ a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4|abcd| $$

Так как модуль любого действительного числа не меньше самого этого числа, то есть $|x| \ge x$, то справедливо и неравенство $|abcd| \ge abcd$.

Следовательно, мы можем записать цепочку неравенств:

$$ a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4|abcd| \ge 4abcd $$

Из этой цепочки следует доказываемое неравенство $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 \ge 4abcd$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.