Номер 17.37, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.37, страница 170.

Условие.

17.37. Докажите, что если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $a(1+b^2) + b(1+a^2) \ge 4ab$.

Решение.

Для доказательства неравенства $a(1 + b^2) + b(1 + a^2) \ge 4ab$ при $a \ge 0$ и $b \ge 0$ преобразуем его левую часть, раскрыв скобки:

$a + ab^2 + b + ba^2 \ge 4ab$

Рассмотрим четыре слагаемых в левой части: $a$, $b$, $ab^2$ и $ba^2$. Согласно условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, все эти слагаемые являются неотрицательными.

Для неотрицательных чисел мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для четырех неотрицательных чисел $x_1, x_2, x_3, x_4$ оно имеет вид:

$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \ge \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4}$

Применим это неравенство к нашим слагаемым, положив $x_1 = a$, $x_2 = b$, $x_3 = ab^2$ и $x_4 = ba^2$:

$\frac{a + b + ab^2 + ba^2}{4} \ge \sqrt[4]{a \cdot b \cdot ab^2 \cdot ba^2}$

Теперь упростим выражение под корнем в правой части неравенства:

$a \cdot b \cdot ab^2 \cdot ba^2 = a^{1+1+2} \cdot b^{1+2+1} = a^4 b^4 = (ab)^4$

Подставим полученное выражение обратно в неравенство:

$\frac{a + b + ab^2 + ba^2}{4} \ge \sqrt[4]{(ab)^4}$

Поскольку $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $ab \ge 0$, и значит $\sqrt[4]{(ab)^4} = ab$.

Таким образом, мы получаем:

$\frac{a + b + ab^2 + ba^2}{4} \ge ab$

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$a + b + ab^2 + ba^2 \ge 4ab$

Это в точности совпадает с неравенством, которое мы хотели доказать. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.