Номер 17.39, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.39, страница 170.

Условие.

17.39. Докажите, что если $y \ge 0$, то $x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 8xy$.

Решение.

Для доказательства неравенства $x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 8xy$ при условии $y \ge 0$, мы преобразуем его левую часть. Сначала сгруппируем некоторые слагаемые и применим к ним известные неравенства.

Рассмотрим слагаемые $x^4$ и $1$. Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел, $a+b \ge 2\sqrt{ab}$. Применив это к $a=x^4$ и $b=1$, получим:

$x^4 + 1 \ge 2\sqrt{x^4 \cdot 1} = 2\sqrt{(x^2)^2} = 2x^2$.

Теперь мы можем оценить левую часть исходного неравенства:

$x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 = (x^4 + 1) + 4y^3 + y + 2x^2 \ge 2x^2 + 4y^3 + y + 2x^2 = 4x^2 + 4y^3 + y$.

Таким образом, для доказательства исходного неравенства достаточно доказать, что:

$4x^2 + 4y^3 + y \ge 8xy$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы доказать, что полученное выражение неотрицательно:

$4x^2 - 8xy + 4y^3 + y \ge 0$.

Сгруппируем члены, содержащие $x$, и выделим полный квадрат:

$4(x^2 - 2xy) + 4y^3 + y \ge 0$

$4(x^2 - 2xy + y^2 - y^2) + 4y^3 + y \ge 0$

$4(x-y)^2 - 4y^2 + 4y^3 + y \ge 0$

$4(x-y)^2 + (4y^3 - 4y^2 + y) \ge 0$.

Проанализируем полученное выражение. Оно состоит из двух слагаемых:

1. $4(x-y)^2$: Это выражение всегда неотрицательно, так как является квадратом действительного числа, умноженным на положительный коэффициент 4. То есть, $4(x-y)^2 \ge 0$.

2. $4y^3 - 4y^2 + y$: Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(4y^2 - 4y + 1)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $4y^2 - 4y + 1 = (2y-1)^2$.

Следовательно, второе слагаемое равно $y(2y-1)^2$.

По условию задачи $y \ge 0$. Множитель $(2y-1)^2$ также всегда неотрицателен, будучи квадратом. Произведение двух неотрицательных чисел $y$ и $(2y-1)^2$ также неотрицательно: $y(2y-1)^2 \ge 0$.

Итак, мы показали, что выражение $4(x-y)^2 + y(2y-1)^2$ является суммой двух неотрицательных слагаемых, а значит, и само оно неотрицательно.

Это доказывает неравенство $4(x-y)^2 + (4y^3 - 4y^2 + y) \ge 0$, а следовательно, и исходное неравенство $x^4 + 4y^3 + y + 2x^2 + 1 \ge 8xy$.

Ответ: Неравенство доказано.