Номер 17.46, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.46, страница 171.

Условие.

17.46. Докажите неравенство $ \left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}. $

Решение.

Сделаем замену переменных. Пусть $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{b}{c}$ и $z = \frac{c}{a}$. Чтобы все дроби были определены, $a, b, c \ne 0$. Будем считать, что $a, b, c$ — положительные числа, тогда $x, y, z$ также положительны. Заметим, что произведение этих переменных равно единице:

$xyz = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в следующем виде:

$x^4 + y^4 + z^4 \ge x + y + z$.

Для доказательства этого неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любого положительного числа $t$ и трех единиц справедливо неравенство для четырех чисел:

$\frac{t^4 + 1 + 1 + 1}{4} \ge \sqrt[4]{t^4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}$

Упрощая, получаем:

$\frac{t^4 + 3}{4} \ge t$

$t^4 + 3 \ge 4t$.

Применим это неравенство для каждого из наших переменных $x, y, z$:

$x^4 + 3 \ge 4x$

$y^4 + 3 \ge 4y$

$z^4 + 3 \ge 4z$

Сложив эти три неравенства, получим:

$(x^4 + y^4 + z^4) + (3 + 3 + 3) \ge 4x + 4y + 4z$

$x^4 + y^4 + z^4 + 9 \ge 4(x + y + z)$

Отсюда:

$x^4 + y^4 + z^4 \ge 4(x + y + z) - 9$.

Теперь нам нужно доказать, что правая часть этого неравенства больше или равна $x + y + z$. То есть, докажем, что $4(x + y + z) - 9 \ge x + y + z$.

Это неравенство равносильно следующему:

$3(x + y + z) \ge 9$

$x + y + z \ge 3$.

Последнее неравенство легко доказывается с помощью неравенства Коши для трех положительных чисел $x, y, z$:

$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz}$

Так как $xyz = 1$, мы имеем:

$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{1} = 1$

Умножая на 3, получаем $x + y + z \ge 3$.

Таким образом, мы установили справедливость следующей цепочки неравенств:

$x^4 + y^4 + z^4 \ge 4(x + y + z) - 9 \ge x + y + z$.

Из этой цепочки напрямую следует, что $x^4 + y^4 + z^4 \ge x + y + z$.

Возвращаясь к исходным переменным, мы получаем требуемое неравенство:

$\left(\frac{a}{b}\right)^4 + \left(\frac{b}{c}\right)^4 + \left(\frac{c}{a}\right)^4 \ge \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$.

Ответ: Неравенство доказано.