Номер 17.51, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.51, страница 171.

Условие.

17.51. Докажите, что если $x > 0$ и $y > 0$, то $\frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $a$ и $b$, которое утверждает, что $a + b \ge 2\sqrt{ab}$.

Рассмотрим знаменатель первого слагаемого в левой части неравенства: $x^4 + y^2$. Поскольку по условию $x > 0$ и $y > 0$, то $x^4 > 0$ и $y^2 > 0$. Применим к этим слагаемым неравенство Коши:

$$ x^4 + y^2 \ge 2\sqrt{x^4 \cdot y^2} = 2\sqrt{(x^2y)^2} = 2x^2y $$

Так как обе части неравенства $x^4 + y^2 \ge 2x^2y$ положительны, мы можем взять обратные величины, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$$ \frac{1}{x^4 + y^2} \le \frac{1}{2x^2y} $$

Теперь умножим обе части на $x$. Так как $x > 0$, знак неравенства не изменится:

$$ \frac{x}{x^4 + y^2} \le \frac{x}{2x^2y} = \frac{1}{2xy} $$

Аналогичные действия произведем для второго слагаемого в левой части неравенства. Рассмотрим его знаменатель $y^4 + x^2$. Так как $y > 0$ и $x > 0$, то $y^4 > 0$ и $x^2 > 0$. Применим неравенство Коши:

$$ y^4 + x^2 \ge 2\sqrt{y^4 \cdot x^2} = 2\sqrt{(y^2x)^2} = 2y^2x $$

Возьмем обратные величины от обеих положительных частей, изменив знак неравенства:

$$ \frac{1}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2y^2x} $$

Умножим обе части на $y > 0$:

$$ \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{y}{2y^2x} = \frac{1}{2xy} $$

Теперь сложим два полученных неравенства:

$$ \frac{x}{x^4 + y^2} \le \frac{1}{2xy} $$

$$ \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2xy} $$

Сложение дает:

$$ \frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{2xy} + \frac{1}{2xy} $$

Упростим правую часть:

$$ \frac{1}{2xy} + \frac{1}{2xy} = \frac{2}{2xy} = \frac{1}{xy} $$

Таким образом, мы доказали, что:

$$ \frac{x}{x^4 + y^2} + \frac{y}{y^4 + x^2} \le \frac{1}{xy} $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано с использованием неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом для знаменателей каждой из дробей.