Номер 17.55, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.55, страница 171.

Условие.

17.55. Известно, что $a > 0$, $b > 0$ и $ab \ge a + b$. Докажите, что $a + b \ge 4$.

Решение.

По условию задачи даны положительные числа $a > 0$, $b > 0$, для которых выполняется неравенство $ab \ge a+b$. Требуется доказать, что $a+b \ge 4$.

Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Алгебраические преобразования и неравенство Коши

Преобразуем исходное неравенство $ab \ge a+b$:

$ab - a - b \ge 0$

Прибавим 1 к обеим частям, чтобы можно было сгруппировать слагаемые:

$ab - a - b + 1 \ge 1$

$a(b-1) - 1(b-1) \ge 1$

$(a-1)(b-1) \ge 1$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, проанализируем знаки множителей $(a-1)$ и $(b-1)$. Если бы оба множителя были отрицательны (то есть $0 < a < 1$ и $0 < b < 1$), то их произведение $(a-1)(b-1)$ было бы меньше 1, что противоречит нашему результату. Если бы один множитель был положительным, а другой отрицательным, их произведение было бы отрицательным, что также противоречит неравенству. Следовательно, оба множителя должны быть положительными:

$a-1 > 0 \implies a > 1$

$b-1 > 0 \implies b > 1$

Введем новые переменные: $x = a-1$ и $y = b-1$. Так как $a>1$ и $b>1$, то $x>0$ и $y>0$.

Неравенство $(a-1)(b-1) \ge 1$ принимает вид $xy \ge 1$.

Нам нужно доказать, что $a+b \ge 4$. Выразим эту сумму через $x$ и $y$:

$a+b = (x+1) + (y+1) = x+y+2$

Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $x+y+2 \ge 4$, или $x+y \ge 2$, при условиях $x>0, y>0, xy \ge 1$.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для положительных чисел $x$ и $y$:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

$x+y \ge 2\sqrt{xy}$

Так как $xy \ge 1$, то $\sqrt{xy} \ge \sqrt{1} = 1$.

Подставляя это в предыдущее неравенство, получаем:

$x+y \ge 2\sqrt{xy} \ge 2 \cdot 1 = 2$

Мы доказали, что $x+y \ge 2$. Вернемся к исходным переменным:

$a+b = x+y+2 \ge 2+2=4$

Следовательно, $a+b \ge 4$, что и требовалось доказать.

Способ 2: Через дискриминант квадратного уравнения

Рассмотрим числа $a$ и $b$ как корни квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$ (согласно теореме Виета).

Так как $a$ и $b$ являются действительными числами, дискриминант $D$ этого уравнения должен быть неотрицательным:

$D = (a+b)^2 - 4ab \ge 0$

Обозначим сумму $S = a+b$ и произведение $P = ab$. Тогда неравенство для дискриминанта запишется как $S^2 - 4P \ge 0$, или $S^2 \ge 4P$.

Из условия задачи мы знаем, что $P \ge S$.

Объединим эти два неравенства в одну цепочку:

$S^2 \ge 4P \ge 4S$

Из этой цепочки следует неравенство $S^2 \ge 4S$.

$S^2 - 4S \ge 0$

$S(S-4) \ge 0$

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, их сумма $S = a+b$ также является положительным числом ($S > 0$).

Разделив неравенство $S(S-4) \ge 0$ на положительное число $S$, мы сохраним знак неравенства и получим:

$S-4 \ge 0$

Отсюда $S \ge 4$.

Так как $S = a+b$, то мы доказали, что $a+b \ge 4$.

Ответ: Неравенство $a+b \ge 4$ доказано.