Номер 17.52, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.52, страница 171.

Условие.

17.52. Докажите, что если $x > 0, y > 0, z > 0,$ то

$\frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши–Буняковского–Шварца в форме Энгеля (также известным как лемма Титу). Для любых действительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ и положительных чисел $b_1, b_2, \dots, b_n$ справедливо неравенство:

$ \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \dots + b_n} $

Применим это неравенство к левой части доказываемого выражения. Пусть $n=3$, и положим:

$ a_1 = x, \quad a_2 = y, \quad a_3 = z $
$ b_1 = x^2 + 2yz, \quad b_2 = y^2 + 2xz, \quad b_3 = z^2 + 2xy $

Поскольку по условию $x > 0, y > 0, z > 0$, все знаменатели $b_1, b_2, b_3$ также являются положительными числами. Тогда, согласно лемме Титу, получаем:

$ \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x^2 + 2yz) + (y^2 + 2xz) + (z^2 + 2xy)} $

Рассмотрим знаменатель в правой части полученного неравенства. Сгруппируем слагаемые:

$ (x^2 + 2yz) + (y^2 + 2xz) + (z^2 + 2xy) = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx $

Это выражение является формулой полного квадрата суммы трех переменных:

$ x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x+y+z)^2 $

Подставим это выражение обратно в наше неравенство:

$ \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} $

Поскольку $x, y, z > 0$, то их сумма $x+y+z$ не равна нулю, и мы можем сократить дробь в правой части:

$ \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} = 1 $

Таким образом, мы доказали, что:

$ \frac{x^2}{x^2 + 2yz} + \frac{y^2}{y^2 + 2xz} + \frac{z^2}{z^2 + 2xy} \ge 1 $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.