Номер 17.47, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.47, страница 171.

Условие.

17.47. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то $\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \ge a + b + c$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для двух положительных чисел $x$ и $y$ оно имеет вид $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Поскольку по условию $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$, все слагаемые в левой части доказываемого неравенства ($\frac{bc}{a}$, $\frac{ac}{b}$, $\frac{ab}{c}$) положительны. Применим неравенство Коши попарно к этим слагаемым.

Для первого и второго слагаемых имеем:

$\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} \ge 2\sqrt{\frac{bc}{a} \cdot \frac{ac}{b}} = 2\sqrt{\frac{abc^2}{ab}} = 2\sqrt{c^2} = 2c$

Для второго и третьего слагаемых:

$\frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \ge 2\sqrt{\frac{ac}{b} \cdot \frac{ab}{c}} = 2\sqrt{\frac{a^2bc}{bc}} = 2\sqrt{a^2} = 2a$

Для первого и третьего слагаемых:

$\frac{bc}{a} + \frac{ab}{c} \ge 2\sqrt{\frac{bc}{a} \cdot \frac{ab}{c}} = 2\sqrt{\frac{ab^2c}{ac}} = 2\sqrt{b^2} = 2b$

Таким образом, мы получили три верных неравенства. Сложим их почленно:

$(\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b}) + (\frac{ac}{b} + \frac{ab}{c}) + (\frac{bc}{a} + \frac{ab}{c}) \ge 2c + 2a + 2b$

Сгруппировав подобные слагаемые в левой части, получим:

$2\frac{bc}{a} + 2\frac{ac}{b} + 2\frac{ab}{c} \ge 2(a+b+c)$

Разделим обе части неравенства на 2 (так как $2 > 0$, знак неравенства не изменится):

$\frac{bc}{a} + \frac{ac}{b} + \frac{ab}{c} \ge a+b+c$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.