Номер 17.48, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.48, страница 171.

Условие.

17.48. Известно, что $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Докажите, что $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \le 3$.

Решение.

Для доказательства неравенства преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a^2 + a^2) + (b^2 + b^2) + (c^2 + c^2) - 2ab - 2bc - 2ca = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca$

Вынесем общие множители за скобки:

$2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca)$

Согласно условию задачи, $a^2 + b^2 + c^2 = 1$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2(1) - 2(ab + bc + ca) = 2 - 2(ab + bc + ca)$

Таким образом, исходное неравенство $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \le 3$ эквивалентно неравенству:

$2 - 2(ab + bc + ca) \le 3$

Теперь докажем это неравенство. Воспользуемся тем фактом, что квадрат любого действительного числа неотрицателен. В частности, $(a+b+c)^2 \ge 0$.

Раскроем квадрат суммы:

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \ge 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca) \ge 0$

Подставим известное из условия значение $a^2 + b^2 + c^2 = 1$:

$1 + 2(ab + bc + ca) \ge 0$

Отсюда получаем оценку для выражения $2(ab + bc + ca)$:

$2(ab + bc + ca) \ge -1$

Умножим обе части последнего неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-2(ab + bc + ca) \le 1$

Теперь прибавим к обеим частям неравенства число 2:

$2 - 2(ab + bc + ca) \le 2 + 1$

$2 - 2(ab + bc + ca) \le 3$

Мы получили неравенство, которое требовалось доказать. Следовательно, и исходное неравенство верно.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем алгебраических преобразований и использования свойства неотрицательности квадрата действительного числа.