Номер 17.50, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.50, страница 171.

Условие.

17.50. Докажите, что при любых положительных значениях $a$, $b$ и $c$ хотя бы одно из неравенств $a(1-b) \leq \frac{1}{4}$, $b(1-c) \leq \frac{1}{4}$, $c(1-a) \leq \frac{1}{4}$ верно.

Решение.

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что все три неравенства неверны. То есть, для некоторых положительных чисел $a$, $b$ и $c$ одновременно выполняются следующие три строгих неравенства:

$a(1-b) > \frac{1}{4}$ (1)

$b(1-c) > \frac{1}{4}$ (2)

$c(1-a) > \frac{1}{4}$ (3)

Поскольку по условию $a, b, c$ — положительные числа, а правые части неравенств ($1/4$) также положительны, то и выражения в скобках должны быть положительными:

$1-b > 0 \implies b < 1$

$1-c > 0 \implies c < 1$

$1-a > 0 \implies a < 1$

Следовательно, наше предположение означает, что $0 < a < 1$, $0 < b < 1$ и $0 < c < 1$.

Перемножим левые и правые части неравенств (1), (2) и (3). Так как все части положительны, знак неравенства при перемножении сохранится:

$a(1-b) \cdot b(1-c) \cdot c(1-a) > \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Сгруппируем множители в левой части:

$[a(1-a)] \cdot [b(1-b)] \cdot [c(1-c)] > \frac{1}{64}$ (4)

Теперь рассмотрим известное неравенство. Для любого действительного числа $x$ верно:

$x(1-x) \le \frac{1}{4}$

Это можно доказать, преобразовав неравенство:

$x - x^2 \le \frac{1}{4}$

$0 \le x^2 - x + \frac{1}{4}$

$0 \le (x - \frac{1}{2})^2$

Последнее неравенство очевидно верно, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Применим это свойство для наших чисел $a, b, c$, которые, как мы выяснили, находятся в интервале $(0, 1)$:

$a(1-a) \le \frac{1}{4}$

$b(1-b) \le \frac{1}{4}$

$c(1-c) \le \frac{1}{4}$

Перемножим эти три верных неравенства. Поскольку все части неотрицательны (так как $a, b, c \in (0,1)$), то:

$[a(1-a)] \cdot [b(1-b)] \cdot [c(1-c)] \le \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$

$[a(1-a)] \cdot [b(1-b)] \cdot [c(1-c)] \le \frac{1}{64}$ (5)

Неравенство (4), полученное из нашего предположения, противоречит неравенству (5), которое является верным для любых действительных чисел $a, b, c$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, по крайней мере одно из исходных неравенств $a(1-b) \le \frac{1}{4}$, $b(1-c) \le \frac{1}{4}$ или $c(1-a) \le \frac{1}{4}$ должно быть верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.