Номер 17.57, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.57, страница 171.

Условие.

17.57. Докажите неравенство $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + ... + \frac{1}{3n+1} < 2$, где $n \in \mathbb{N}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом оценки суммы. Обозначим левую часть неравенства через $S_n$:

$$ S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} $$

Сначала посчитаем количество слагаемых в этой сумме. Знаменатели слагаемых являются последовательными целыми числами от $n+1$ до $3n+1$. Их общее количество равно:

$$ (3n+1) - (n+1) + 1 = 3n + 1 - n - 1 + 1 = 2n + 1 $$

Таким образом, сумма $S_n$ состоит из $2n+1$ слагаемых.

Заметим, что все слагаемые в сумме положительны. Первое слагаемое $\frac{1}{n+1}$ является наибольшим, так как у него наименьший знаменатель. Каждое следующее слагаемое строго меньше предыдущего.

Поскольку каждое слагаемое в сумме не превышает $\frac{1}{n+1}$, и для $n \in \mathbb{N}$ в сумме есть слагаемые, которые строго меньше $\frac{1}{n+1}$ (например, $\frac{1}{n+2}$), мы можем оценить всю сумму сверху, заменив каждое из $2n+1$ слагаемых на самое большое из них. Это даст нам строгое неравенство:

$$ S_n < \underbrace{\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+1} + \dots + \frac{1}{n+1}}_{2n+1 \text{ раз}} $$

Правая часть этого неравенства равна произведению количества слагаемых на их значение:

$$ S_n < (2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{2n+1}{n+1} $$

Теперь преобразуем полученное выражение $\frac{2n+1}{n+1}$:

$$ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2n+2-1}{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1} $$

По условию $n \in \mathbb{N}$, поэтому $n \geq 1$. Это означает, что $n+1 \geq 2$, и, следовательно, дробь $\frac{1}{n+1}$ является положительным числом: $\frac{1}{n+1} > 0$.

Отсюда следует, что $2 - \frac{1}{n+1} < 2$.

Объединяя наши результаты, мы получаем цепочку строгих неравенств:

$$ S_n < \frac{2n+1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1} < 2 $$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{3n+1} < 2$.

Ответ: Неравенство доказано.