Номер 17.61, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.61, страница 172.

Условие.

17.61. Докажите неравенство $ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}} $, где $n \in N$.

Решение.

Обозначим левую часть доказываемого неравенства через $P_n$:

$$ P_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n-1}{2n} $$

Нам необходимо доказать, что $P_n < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$.

Поскольку обе части неравенства положительны при $n \in \mathbb{N}$, мы можем возвести их в квадрат. Доказываемое неравенство эквивалентно следующему:

$$ P_n^2 < \frac{1}{2n+1} $$

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \ldots \cdot \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^2 < \frac{1}{2n+1} $$

Рассмотрим общий член произведения $P_n$, который имеет вид $\frac{2k-1}{2k}$ для $k=1, 2, \ldots, n$.

Для любого натурального $k$ верно неравенство:

$$ (2k-1)(2k+1) < (2k)^2 $$

поскольку $(2k-1)(2k+1) = 4k^2 - 1$, а $(2k)^2 = 4k^2$.

Разделив обе части неравенства $4k^2-1 < 4k^2$ на $4k^2$, получим:

$$ \frac{4k^2-1}{4k^2} < 1 \implies \frac{(2k-1)(2k+1)}{(2k)^2} < 1 $$

Отсюда следует:

$$ \left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2 < \frac{2k-1}{2k+1} $$

Применим это неравенство для каждого множителя в $P_n^2$:

$$ P_n^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \ldots \cdot \left(\frac{2n-1}{2n}\right)^2 < \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{2n-1}{2n+1}\right) $$

Правая часть этого неравенства является телескопическим произведением:

$$ \frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{5}} \cdot \frac{\cancel{5}}{7} \cdot \ldots \cdot \frac{\cancel{2n-1}}{2n+1} = \frac{1}{2n+1} $$

Таким образом, мы показали, что:

$$ P_n^2 < \frac{1}{2n+1} $$

Извлекая квадратный корень из обеих частей (что возможно, так как обе части положительны), мы получаем исходное неравенство:

$$ P_n < \frac{1}{\sqrt{2n+1}} $$

Неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.