Номер 17.58, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.58, страница 171.

Условие.

17.58. Докажите, что если $x > 0, y > 0, z > 0$ и $xyz = 1$, то

$\frac{xy^2}{x^3 + 2} + \frac{yz^2}{y^3 + 2} + \frac{zx^2}{z^3 + 2} \ge 1$.

Решение.

Обозначим левую часть доказываемого неравенства за $S$:$$ S = \frac{xy^2}{x^3 + 2} + \frac{yz^2}{y^3 + 2} + \frac{zx^2}{z^3 + 2} $$По условию задачи дано, что $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$ и $xyz = 1$. Мы можем использовать это условие для преобразования знаменателей в каждом слагаемом. Заменим число 2 в знаменателях на эквивалентное выражение $2xyz$, так как $2 \cdot 1 = 2xyz$.

Преобразуем знаменатель первого слагаемого:$x^3 + 2 = x^3 + 2xyz = x(x^2 + 2yz)$.

Аналогично преобразуем знаменатели второго и третьего слагаемых:$y^3 + 2 = y^3 + 2xyz = y(y^2 + 2zx)$.
$z^3 + 2 = z^3 + 2xyz = z(z^2 + 2xy)$.

Теперь подставим эти выражения обратно в $S$:$$ S = \frac{xy^2}{x(x^2 + 2yz)} + \frac{yz^2}{y(y^2 + 2zx)} + \frac{zx^2}{z(z^2 + 2xy)} $$После сокращения общих множителей в числителе и знаменателе каждой дроби ($x$, $y$ и $z$ соответственно) получим:$$ S = \frac{y^2}{x^2 + 2yz} + \frac{z^2}{y^2 + 2zx} + \frac{x^2}{z^2 + 2xy} $$

К полученному выражению применим неравенство Коши-Буняковского-Шварца в форме Энгеля (также известное как лемма Титу). Для любых положительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ и $b_1, b_2, \dots, b_n$ справедливо неравенство:$$ \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \dots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac{(a_1+a_2+\dots+a_n)^2}{b_1+b_2+\dots+b_n} $$

В нашем случае для трех слагаемых положим $a_1 = y$, $a_2 = z$, $a_3 = x$ и $b_1 = x^2 + 2yz$, $b_2 = y^2 + 2zx$, $b_3 = z^2 + 2xy$. Поскольку $x, y, z > 0$, все значения $a_i$ и $b_i$ также положительны.Применяя неравенство, получаем:$$ S \ge \frac{(y+z+x)^2}{(x^2 + 2yz) + (y^2 + 2zx) + (z^2 + 2xy)} $$

Упростим знаменатель в правой части неравенства. Сгруппировав слагаемые, мы видим, что это формула полного квадрата суммы:$$ (x^2 + 2yz) + (y^2 + 2zx) + (z^2 + 2xy) = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x+y+z)^2 $$

Таким образом, наше неравенство принимает вид:$$ S \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2} = 1 $$Следовательно, мы доказали, что исходное неравенство верно:$$ \frac{xy^2}{x^3 + 2} + \frac{yz^2}{y^3 + 2} + \frac{zx^2}{z^3 + 2} \ge 1 $$что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.