Номер 17.59, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.59, страница 172.

Условие.

17.59. Докажите неравенство $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge (a+b+c+d)e$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства перенесём все его члены в левую часть:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - (a + b + c + d)e \ge 0$

Раскроем скобки в левой части:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - ae - be - ce - de \ge 0$

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты. Для этого представим $e^2$ в виде суммы $\frac{e^2}{4} + \frac{e^2}{4} + \frac{e^2}{4} + \frac{e^2}{4}$ и перегруппируем члены:

$(a^2 - ae + \frac{e^2}{4}) + (b^2 - be + \frac{e^2}{4}) + (c^2 - ce + \frac{e^2}{4}) + (d^2 - de + \frac{e^2}{4}) \ge 0$

Каждое выражение в скобках является полным квадратом разности:

$(a - \frac{e}{2})^2 + (b - \frac{e}{2})^2 + (c - \frac{e}{2})^2 + (d - \frac{e}{2})^2 \ge 0$

Полученное неравенство справедливо для любых действительных чисел $a, b, c, d, e$, так как левая часть представляет собой сумму квадратов, а квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Сумма неотрицательных величин также неотрицательна.

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано. Равенство достигается при выполнении условия $a = b = c = d = \frac{e}{2}$.