Номер 17.66, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.66, страница 172.

Условие.

17.66. Найдите все значения параметра $a$, при которых сумма корней уравнения $x^2 - (a^2 - 5a)x + 5a - 1 = 0$ равна $-6$.

Решение.

Данное уравнение $x^2 - (a^2 - 5a)x + 5a - 1 = 0$ является квадратным. Для того чтобы у квадратного уравнения существовали действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения $x^2+px+q=0$ равна $x_1+x_2 = -p$.

В нашем случае коэффициент при $x$ равен $-(a^2 - 5a)$. Следовательно, сумма корней равна:

$x_1 + x_2 = -(-(a^2 - 5a)) = a^2 - 5a$

Согласно условию задачи, эта сумма должна быть равна -6. Составим и решим уравнение:

$a^2 - 5a = -6$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно параметра $a$. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $a_1=2$ и $a_2=3$.

Теперь необходимо проверить, при каких из найденных значений $a$ исходное уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$ исходного уравнения и проверим условие $D \ge 0$.

$D = (-(a^2 - 5a))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5a - 1) = (a^2 - 5a)^2 - 4(5a - 1)$

Для найденных нами значений $a$ выражение $a^2-5a$ равно -6. Подставим это значение в формулу для дискриминанта, чтобы упростить вычисления:

$D = (-6)^2 - 4(5a - 1) = 36 - 20a + 4 = 40 - 20a$

Теперь проверим знак дискриминанта для каждого из найденных значений $a$:

1. При $a = 2$:

$D = 40 - 20 \cdot 2 = 40 - 40 = 0$.

Так как $D=0$, уравнение имеет один действительный корень (или два равных корня). Условие существования корней выполнено. Значение $a=2$ подходит.

2. При $a = 3$:

$D = 40 - 20 \cdot 3 = 40 - 60 = -20$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, говорить о их сумме в поле действительных чисел некорректно. Значение $a=3$ не подходит.

Таким образом, единственное значение параметра, удовлетворяющее условию, это $a=2$.

Ответ: $2$.