Номер 18.6, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.6, страница 181.

Условие.

18.6. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то

$(a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8.$

Решение.

18.6.

Для доказательства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$, которое гласит: $x + y \ge 2\sqrt{xy}$.

По условию задачи $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$. Следовательно, все слагаемые в скобках являются положительными числами, и мы можем применить к каждой скобке неравенство Коши.

Рассмотрим каждую скобку отдельно:

1. Для первой скобки $(a^2 + \frac{1}{bc})$:

$a^2 + \frac{1}{bc} \ge 2\sqrt{a^2 \cdot \frac{1}{bc}} = 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} = \frac{2a}{\sqrt{bc}}$

2. Для второй скобки $(b^2 + \frac{1}{ca})$:

$b^2 + \frac{1}{ca} \ge 2\sqrt{b^2 \cdot \frac{1}{ca}} = 2\sqrt{\frac{b^2}{ca}} = \frac{2b}{\sqrt{ca}}$

3. Для третьей скобки $(c^2 + \frac{1}{ab})$:

$c^2 + \frac{1}{ab} \ge 2\sqrt{c^2 \cdot \frac{1}{ab}} = 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} = \frac{2c}{\sqrt{ab}}$

Так как все части полученных неравенств положительны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge \left(\frac{2a}{\sqrt{bc}}\right) \left(\frac{2b}{\sqrt{ca}}\right) \left(\frac{2c}{\sqrt{ab}}\right)$

Теперь преобразуем правую часть этого неравенства:

$\frac{2a}{\sqrt{bc}} \cdot \frac{2b}{\sqrt{ca}} \cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{bc} \cdot \sqrt{ca} \cdot \sqrt{ab}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{b^2c^2a^2}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{(abc)^2}}$

Поскольку $a, b, c$ положительны, $abc > 0$, и, следовательно, $\sqrt{(abc)^2} = abc$.

Тогда правая часть равна:

$8 \cdot \frac{abc}{abc} = 8 \cdot 1 = 8$

Таким образом, мы получили, что:

$(a^2 + \frac{1}{bc})(b^2 + \frac{1}{ca})(c^2 + \frac{1}{ab}) \ge 8$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.