Номер 18.13, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.13, страница 181.

Условие.

18.13. Докажите неравенство $a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2 + 2} + \frac{1}{b^2 + 1} > 1$.

Решение.

Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+1} > 1$ преобразуем его, перенеся 1 в левую часть, и сгруппируем слагаемые:

$(a^2 + \frac{1}{a^2+2}) + (b^2 - 1 + \frac{1}{b^2+1}) > 0$

Рассмотрим второе выражение в скобках. Приведем его к общему знаменателю:

$b^2 - 1 + \frac{1}{b^2+1} = \frac{(b^2 - 1)(b^2+1) + 1}{b^2+1} = \frac{b^4 - 1 + 1}{b^2+1} = \frac{b^4}{b^2+1}$

Поскольку $b^4 \ge 0$ и знаменатель $b^2+1 > 0$ для любого действительного значения $b$, то полученное выражение неотрицательно:

$\frac{b^4}{b^2+1} \ge 0$

Равенство нулю достигается при $b=0$.

Теперь рассмотрим первое выражение в скобках: $a^2 + \frac{1}{a^2+2}$. Докажем, что его значение не меньше, чем $\frac{1}{2}$. Для этого оценим их разность:

$a^2 + \frac{1}{a^2+2} - \frac{1}{2} = \frac{2a^2(a^2+2) + 2 - (a^2+2)}{2(a^2+2)} = \frac{2a^4+4a^2+2-a^2-2}{2(a^2+2)} = \frac{2a^4+3a^2}{2(a^2+2)} = \frac{a^2(2a^2+3)}{2(a^2+2)}$

Так как $a^2 \ge 0$, множитель $2a^2+3$ всегда положителен, и знаменатель $2(a^2+2)$ также всегда положителен, то вся дробь неотрицательна:

$\frac{a^2(2a^2+3)}{2(a^2+2)} \ge 0$

Это означает, что $a^2 + \frac{1}{a^2+2} \ge \frac{1}{2}$. Равенство достигается при $a=0$.

Теперь мы можем оценить всю левую часть преобразованного неравенства:

$(a^2 + \frac{1}{a^2+2}) + (b^2 - 1 + \frac{1}{b^2+1}) = (a^2 + \frac{1}{a^2+2}) + \frac{b^4}{b^2+1} \ge \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$

Мы получили, что $a^2 + b^2 + \frac{1}{a^2+2} + \frac{1}{b^2+1} - 1 \ge \frac{1}{2}$.

Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, то левая часть исходного неравенства всегда строго больше 1. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.