Номер 18.10, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.10, страница 181.

Условие.

18.10. Докажите неравенство $\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2$.

Решение.

18.10.

Для доказательства данного неравенства выполним ряд равносильных преобразований.

Исходное неравенство: $\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2$.

Область допустимых значений переменной $a$ — все действительные числа, так как подкоренное выражение $a^2 + 1$ всегда положительно ($a^2 \ge 0 \implies a^2 + 1 \ge 1$). Знаменатель $\sqrt{a^2 + 1}$ также всегда положителен.

Умножим обе части неравенства на положительное число $\sqrt{a^2 + 1}$. Знак неравенства при этом не изменится.

$a^2 + 2 \ge 2\sqrt{a^2 + 1}$

Обе части этого неравенства положительны. Левая часть $a^2 + 2 \ge 2$, правая часть $2\sqrt{a^2 + 1} \ge 2$. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат, сохранив знак неравенства.

$(a^2 + 2)^2 \ge (2\sqrt{a^2 + 1})^2$

Раскроем скобки в обеих частях:

$a^4 + 4a^2 + 4 \ge 4(a^2 + 1)$

$a^4 + 4a^2 + 4 \ge 4a^2 + 4$

Вычтем из обеих частей выражение $4a^2 + 4$:

$a^4 + 4a^2 + 4 - (4a^2 + 4) \ge 0$

$a^4 \ge 0$

Последнее неравенство является верным для любого действительного числа $a$, так как четвертая степень любого числа неотрицательна. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно для всех действительных $a$.

Ответ: Неравенство доказано.