Номер 18.15, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.15, страница 181.

Условие.

18.15. Известно, что $a^2 + b^2 = 1$, $c^2 + d^2 = 1$. Докажите, что $|ac - bd| \le 1$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся данными условиями: $a^2 + b^2 = 1$ и $c^2 + d^2 = 1$.

Перемножим левые и правые части этих равенств:

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1 \cdot 1$

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 1$

Раскроем скобки в левой части полученного равенства:

$a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = 1$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части, чтобы выделить известные нам выражения. Добавим и вычтем $2abcd$, что не изменит значения выражения:

$(a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2) = 1$

Заметим, что выражения в скобках являются формулами квадрата разности и квадрата суммы:

$(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = 1$

Это равенство, известное как тождество Брахмагупты, показывает, что сумма двух квадратов равна 1.

Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, мы знаем, что $(ad + bc)^2 \ge 0$.

Из равенства $(ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = 1$ следует, что $(ac - bd)^2 = 1 - (ad + bc)^2$.

Так как мы вычитаем из 1 неотрицательное число $(ad + bc)^2$, результат не может быть больше 1:

$(ac - bd)^2 \le 1$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем извлечь из них квадратный корень:

$\sqrt{(ac - bd)^2} \le \sqrt{1}$

Что равносильно:

$|ac - bd| \le 1$

Таким образом, требуемое неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.