Номер 18.22, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.22, страница 181.

Условие.

18.22. Найдите наименьшее значение выражения $5a + 2b$, если $a > 0$

и $ab = 10$.

Решение.

Для решения этой задачи можно использовать два основных способа: с помощью производной или с помощью неравенства о средних.

Способ 1: Использование неравенства о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши)

Неравенство Коши для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ гласит:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $x = y$.

По условию задачи $a > 0$ и $ab = 10$. Отсюда следует, что $b = \frac{10}{a}$ также является положительным числом. Следовательно, слагаемые в выражении $5a + 2b$, а именно $5a$ и $2b$, оба положительны. Мы можем применить к ним неравенство Коши.

Применим неравенство для чисел $x = 5a$ и $y = 2b$:

$\frac{5a + 2b}{2} \ge \sqrt{(5a)(2b)}$

Преобразуем неравенство:

$5a + 2b \ge 2\sqrt{10ab}$

Подставим в правую часть известное нам значение $ab = 10$:

$5a + 2b \ge 2\sqrt{10 \cdot 10}$

$5a + 2b \ge 2\sqrt{100}$

$5a + 2b \ge 2 \cdot 10$

$5a + 2b \ge 20$

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $5a + 2b$ всегда не меньше 20. Наименьшее значение, равное 20, будет достигнуто при условии равенства в неравенстве Коши, то есть когда $5a = 2b$.

Для нахождения конкретных значений $a$ и $b$ решим систему уравнений:

$5a = 2b$

$ab = 10$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = \frac{5}{2}a$. Подставим это во второе уравнение:

$a \cdot \left(\frac{5}{2}a\right) = 10$

$\frac{5}{2}a^2 = 10$

$a^2 = \frac{10 \cdot 2}{5} = 4$

Так как по условию $a > 0$, то $a = 2$.

Найдем $b$: $b = \frac{10}{a} = \frac{10}{2} = 5$.

При $a=2$ и $b=5$ значение выражения равно $5(2) + 2(5) = 10 + 10 = 20$. Это совпадает с наименьшим возможным значением, которое мы нашли.

Способ 2: Использование производной

Из условия $ab = 10$ выразим переменную $b$ через $a$. Так как $a > 0$, мы можем записать $b = \frac{10}{a}$.

Подставим это выражение в $5a + 2b$, чтобы получить функцию одной переменной $a$:

$S(a) = 5a + 2\left(\frac{10}{a}\right) = 5a + \frac{20}{a}$

Теперь задача сводится к нахождению наименьшего значения функции $S(a)$ на интервале $(0, +\infty)$. Для этого найдем производную функции $S(a)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума.

$S'(a) = (5a + \frac{20}{a})' = 5 - \frac{20}{a^2}$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(a) = 0$:

$5 - \frac{20}{a^2} = 0$

$5 = \frac{20}{a^2}$

$5a^2 = 20$

$a^2 = 4$

Поскольку $a > 0$, единственная критическая точка в нашей области определения — это $a = 2$.

Чтобы убедиться, что это точка минимума, исследуем знак производной. При $0 < a < 2$ (например, $a=1$) $S'(1) = 5 - 20 = -15 < 0$, значит, функция убывает. При $a > 2$ (например, $a=3$) $S'(3) = 5 - \frac{20}{9} > 0$, значит, функция возрастает. Следовательно, в точке $a=2$ функция достигает своего минимума.

Найдем это минимальное значение, подставив $a=2$ в функцию $S(a)$:

$S(2) = 5(2) + \frac{20}{2} = 10 + 10 = 20$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 20.