Номер 18.25, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.25, страница 181.

Условие.

18.25. Найдите наименьшее значение выражения $x^2 + \frac{16}{x^2}$.

Решение.

Для нахождения наименьшего значения данного выражения можно применить несколько подходов.

Способ 1: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Рассмотрим выражение $y = x^2 + \frac{16}{x^2}$.
Область определения этого выражения — все действительные числа, кроме $x=0$.
Заметим, что для любого $x \neq 0$, оба слагаемых в выражении, $x^2$ и $\frac{16}{x^2}$, являются положительными числами.
Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $$ a+b \ge 2\sqrt{ab} $$ Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.
Применим это неравенство, взяв $a = x^2$ и $b = \frac{16}{x^2}$: $$ x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{16}{x^2}} $$ Упростим правую часть неравенства: $$ x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2\sqrt{16} $$ $$ x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 2 \cdot 4 $$ $$ x^2 + \frac{16}{x^2} \ge 8 $$ Это означает, что значение выражения всегда не меньше 8. Наименьшее значение 8 достигается, если выполняется условие равенства, то есть $a=b$: $$ x^2 = \frac{16}{x^2} $$ $$ x^4 = 16 $$ $$ x^2 = 4 $$ Отсюда $x = 2$ или $x = -2$.
Поскольку существуют действительные значения $x$, при которых выражение равно 8, наименьшее значение выражения действительно равно 8.

Способ 2: Алгебраическое преобразование (выделение полного квадрата)

Преобразуем исходное выражение, добавив и вычтя 8, чтобы выделить полный квадрат: $$ x^2 + \frac{16}{x^2} = x^2 - 8 + \frac{16}{x^2} + 8 $$ Первые три слагаемых представляют собой квадрат разности: $$ x^2 - 8 + \frac{16}{x^2} = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{4}{x} + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = \left(x - \frac{4}{x}\right)^2 $$ Таким образом, выражение можно переписать в виде: $$ \left(x - \frac{4}{x}\right)^2 + 8 $$ Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, $\left(x - \frac{4}{x}\right)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения достигается, когда квадрат равен нулю, и это значение равно 8: $$ \left(x - \frac{4}{x}\right)^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8 $$ Минимальное значение 8 достигается при условии: $$ \left(x - \frac{4}{x}\right)^2 = 0 \implies x - \frac{4}{x} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 $$ Таким образом, наименьшее значение выражения равно 8.

Способ 3: Использование производной

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + \frac{16}{x^2}$. Чтобы найти ее наименьшее значение, найдем точки экстремума с помощью производной.
Найдем производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = \left(x^2 + 16x^{-2}\right)' = 2x - 32x^{-3} = 2x - \frac{32}{x^3} $$ Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$ 2x - \frac{32}{x^3} = 0 $$ $$ 2x = \frac{32}{x^3} $$ $$ 2x^4 = 32 $$ $$ x^4 = 16 $$ Решениями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.
Теперь определим, являются ли эти точки точками минимума. Для этого исследуем знак производной $f'(x) = \frac{2(x^4-16)}{x^3}$ на интервалах, на которые числовую ось делят критические точки и точка разрыва $x=0$.
- На интервале $(-\infty; -2)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).
- На интервале $(-2; 0)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
При переходе через точку $x=-2$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=-2$ — точка минимума.
- На интервале $(0; 2)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает).
- На интервале $(2; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
При переходе через точку $x=2$ производная также меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=2$ — тоже точка минимума.
Вычислим значения функции в этих точках: $$ f(2) = 2^2 + \frac{16}{2^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8 $$ $$ f(-2) = (-2)^2 + \frac{16}{(-2)^2} = 4 + \frac{16}{4} = 4 + 4 = 8 $$ Оба локальных минимума равны 8. Это и есть наименьшее значение функции.

Ответ: 8.