Номер 18.31, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.31, страница 182.

Условие.

18.31. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0,$ то $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 4.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенством Коши) для четырех положительных чисел. По условию $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$, $d > 0$, следовательно, числа $\frac{a}{b}$, $\frac{b}{c}$, $\frac{c}{d}$ и $\frac{d}{a}$ также являются положительными.

Неравенство о средних для $n$ неотрицательных чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ гласит:

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$

Применим это неравенство для $n=4$ и наших чисел $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{b}{c}$, $x_3 = \frac{c}{d}$, $x_4 = \frac{d}{a}$:

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}}{4} \ge \sqrt[4]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a}}$

Вычислим значение выражения в правой части (среднее геометрическое):

$\sqrt[4]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a}} = \sqrt[4]{\frac{a \cdot b \cdot c \cdot d}{b \cdot c \cdot d \cdot a}} = \sqrt[4]{1} = 1$

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a}}{4} \ge 1$

Умножив обе части неравенства на 4, получаем:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 4$

Что и требовалось доказать. Равенство достигается тогда и только тогда, когда все слагаемые равны, то есть $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{a}$, что эквивалентно $a=b=c=d$.

Ответ: Неравенство доказано.