Номер 18.24, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.24, страница 181.

Условие.

18.24. Известно, что $a > 0$, $b > 0$ и $3a + 4b = 24$. Найдите наибольшее зна-чение выражения $ab$.

Решение.

По условию задачи даны три утверждения: $a > 0$, $b > 0$ и $3a + 4b = 24$. Нам необходимо найти наибольшее значение произведения $ab$.

Для решения этой задачи можно воспользоваться неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то слагаемые $3a$ и $4b$ также являются положительными числами.

Неравенство Коши для двух положительных чисел $x$ и $y$ утверждает, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:$$ \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} $$Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $x = y$.

Применим это неравенство к числам $x = 3a$ и $y = 4b$:$$ \frac{3a + 4b}{2} \ge \sqrt{(3a)(4b)} $$

Из условия задачи мы знаем, что $3a + 4b = 24$. Подставим это значение в левую часть неравенства:$$ \frac{24}{2} \ge \sqrt{12ab} $$$$ 12 \ge \sqrt{12ab} $$

Чтобы найти ограничение для $ab$, возведем обе части неравенства в квадрат. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится:$$ 12^2 \ge (\sqrt{12ab})^2 $$$$ 144 \ge 12ab $$

Теперь разделим обе части на 12:$$ \frac{144}{12} \ge ab $$$$ 12 \ge ab $$

Это неравенство показывает, что максимальное возможное значение выражения $ab$ равно 12. Это значение достигается в случае равенства в неравенстве Коши, то есть при условии, что слагаемые равны:$$ 3a = 4b $$

Для нахождения конкретных значений $a$ и $b$ решим систему из двух уравнений:$$ \begin{cases} 3a + 4b = 24 \\ 3a = 4b \end{cases} $$

Подставим $4b$ вместо $3a$ в первое уравнение:$$ 4b + 4b = 24 $$$$ 8b = 24 $$$$ b = 3 $$

Зная $b$, найдем $a$ из второго уравнения:$$ 3a = 4(3) $$$$ 3a = 12 $$$$ a = 4 $$

Мы нашли, что при $a=4$ и $b=3$ (что удовлетворяет условиям $a>0, b>0$) произведение $ab$ достигает своего максимального значения: $ab = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12.