Номер 18.30, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.30, страница 182.

Условие.

18.30. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$, то $\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \ge 6$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть. По условию, $a > 0, b > 0, c > 0$.

Доказательство:

Раскроем скобки в числителях и разделим левую часть на отдельные дроби:

$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

Сгруппируем слагаемые в пары взаимно обратных чисел:

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b})$

Теперь воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел. Для любых $x > 0$ и $y > 0$ справедливо:

$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$

В частном случае, когда $y = \frac{1}{x}$, неравенство принимает вид:

$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1$

Отсюда следует, что для любого положительного числа $x$ выполняется:

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Поскольку $a, b, c$ — положительные числа, то дроби $\frac{a}{b}$, $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$ также положительны. Применим данное неравенство к каждой из наших сгруппированных пар:

1. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$

2. $\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2$

3. $\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2$

Сложив эти три неравенства, получим:

$(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) \geq 2 + 2 + 2$

Возвращаясь к исходному выражению, имеем:

$\frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \geq 6$

Что и требовалось доказать. Равенство достигается в том случае, когда оно достигается в каждом из трех использованных неравенств, то есть когда $\frac{a}{b}=1$, $\frac{a}{c}=1$ и $\frac{b}{c}=1$, что равносильно условию $a=b=c$.

Ответ: Неравенство доказано.