Номер 18.34, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.34, страница 182.

Условие.

18.34. Известно, что $a \in [0; 1]$, $b \in [0; 1]$, $a + b \ge \frac{1}{2}$. Докажите неравенство $\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{3}{4}$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел $x$ и $y$, которое гласит: $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$.

В нашем случае, поскольку $a \in [0; 1]$ и $b \in [0; 1]$, выражения $(1-a)$ и $(1-b)$ являются неотрицательными. Поэтому мы можем положить $x = 1-a$ и $y = 1-b$ и применить к ним неравенство Коши:

$\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{(1-a) + (1-b)}{2}$

Преобразуем правую часть полученного неравенства:

$\frac{(1-a) + (1-b)}{2} = \frac{1 - a + 1 - b}{2} = \frac{2 - (a+b)}{2} = 1 - \frac{a+b}{2}$

Таким образом, мы установили, что $\sqrt{(1-a)(1-b)} \le 1 - \frac{a+b}{2}$.

Теперь используем второе условие, данное в задаче: $a+b \ge \frac{1}{2}$.

Умножим обе части этого неравенства на $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-\frac{a+b}{2} \le -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$-\frac{a+b}{2} \le -\frac{1}{4}$

Теперь прибавим к обеим частям неравенства единицу:

$1 - \frac{a+b}{2} \le 1 - \frac{1}{4}$

$1 - \frac{a+b}{2} \le \frac{3}{4}$

Итак, мы имеем систему из двух неравенств:

1. $\sqrt{(1-a)(1-b)} \le 1 - \frac{a+b}{2}$

2. $1 - \frac{a+b}{2} \le \frac{3}{4}$

Из этих двух неравенств по свойству транзитивности следует искомое неравенство:

$\sqrt{(1-a)(1-b)} \le \frac{3}{4}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.