Номер 18.39, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.39, страница 182.

Условие.

18.39. Известно, что $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$ и $a+b+c = 1$. Докажите неравенство$\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{1}{2}$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся известным неравенством между средним арифметическим и средним гармоническим для двух положительных чисел $x$ и $y$:

$$ \frac{x+y}{2} \ge \frac{2xy}{x+y} $$

Это неравенство справедливо, так как оно эквивалентно неравенству $(x-y)^2 \ge 0$. Разделив обе части на 2, получим:

$$ \frac{xy}{x+y} \le \frac{x+y}{4} $$

Применим это неравенство к каждому слагаемому в левой части доказываемого неравенства:

$$ \frac{ab}{a+b} \le \frac{a+b}{4} $$

$$ \frac{bc}{b+c} \le \frac{b+c}{4} $$

$$ \frac{ca}{c+a} \le \frac{c+a}{4} $$

Теперь сложим эти три неравенства:

$$ \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b}{4} + \frac{b+c}{4} + \frac{c+a}{4} $$

Преобразуем правую часть полученного неравенства:

$$ \frac{a+b+b+c+c+a}{4} = \frac{2a+2b+2c}{4} = \frac{2(a+b+c)}{4} = \frac{a+b+c}{2} $$

Таким образом, мы доказали, что:

$$ \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{a+b+c}{2} $$

По условию задачи известно, что $a > 0, b > 0, c > 0$ и $a+b+c=1$. Подставим это значение в полученное неравенство:

$$ \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \le \frac{1}{2} $$

Что и требовалось доказать.

Ответ: неравенство доказано.