Номер 18.46, страница 183 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.46, страница 183.

Условие.

18.46. Докажите неравенство $(a^4 + b^4 + c^4) \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\right) \ge (a + b + c)^2$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца. В общем виде для двух наборов действительных чисел $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ и $(y_1, y_2, \dots, y_n)$ оно записывается так:

$(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \dots + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \dots + x_ny_n)^2$

Рассмотрим случай для $n=3$ и выберем следующие наборы чисел:

$x_1 = a^2, x_2 = b^2, x_3 = c^2$

$y_1 = \frac{1}{a}, y_2 = \frac{1}{b}, y_3 = \frac{1}{c}$

Подставим эти значения в неравенство Коши-Буняковского-Шварца:

$((a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2) \left( \left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(\frac{1}{b}\right)^2 + \left(\frac{1}{c}\right)^2 \right) \geq \left( a^2 \cdot \frac{1}{a} + b^2 \cdot \frac{1}{b} + c^2 \cdot \frac{1}{c} \right)^2$

Упростим обе части полученного выражения.

Левая часть:

$(a^4 + b^4 + c^4) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right)$

Правая часть:

$\left( a + b + c \right)^2$

Соединив обе части, мы получаем исходное неравенство:

$(a^4 + b^4 + c^4) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \geq (a + b + c)^2$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано с помощью применения неравенства Коши-Буняковского-Шварца.